KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3977. (February 2007)

B. 3977. Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers: x2+xy+y2=2, y2+yz+z2=5, z2+xz+x2=3.

(4 pont)

Deadline expired on 19 March 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a második egyenletből kivonjuk a harmadikat, az (y-x)(x+y+z)=2, a harmadikból az elsőt kivonva pedig a (z-y)(x+y+z)=1 egyenletre jutunk. Innen y-x=2(z-y), vagyis x=3y-2z, x+y+z=4y-z, ahonnan (z-y)(4y-z)=1. Az y,z ismeretlenekre tehát van két egyenletünk: y2+yz+z2=5 és -4y2+5yz-z2=1. Innen z2 kiküszöbölésével (a két egyenletet összeadva, majd 3-mal való osztás után) a -y2+2yz=2, yz kiküszöbölésével pedig a 3y2+2z2=8 összefüggésre jutunk.

Tehát 2yz=2+y2, 4y2z2=4+4y2+y4. Az Y=y2 jelöléssel, 2z2=8-3Y helyettesítéssel 2Y(8-3Y)=4+4Y+Y2, vagyis 7Y2-12Y+4=0, ahonnan Y értékére (6\pm2\sqrt{2})/7 adódik. Mármost x<y miatt az x2+xy+y2=2 egyenletből Y>2/3, vagyis Y=(6+2\sqrt{2})/7, és Z=z^2=(8-3Y)/2=(19-3\sqrt{2})/7.

A (z-x)(x+y+z)=3 egyenletben az y=(x+2z)/3 helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy (z-x)(4x+5z)=9, vagyis 5z2-xz-4x2=9. Ezt az x2+xz+z2=3 egyenlettel összevetve 2z2-x2=4 adódik. Innen X=x^2=2Z-4=(10-6\sqrt{2})/7. Végül a három eredeti egyenlet összeadásával kapjuk, hogy

xy+yz+xz=10-2(X+Y+Z)=2\sqrt2.

Ugyanezt az eredményt számolás nélkül is megkaphatjuk egy geometriai interpretációval. Az első egyenletből látszik, hogy x,y<\sqrt{2}<x+y, vagyis az x,y,\sqrt{2} hosszú szakaszokból háromszög szerkeszthető. A koszinusz-tétel szerint az első egyenlet azt fejezi ki, hogy ebben a háromszögben az x,y oldalak éppen 120o-os szöget zárnak be. Innen már látszik, hogy az egyenletrendszer megoldását úgy kapjuk meg, hogy egy \sqrt{2}, \sqrt{3} és \sqrt{5} oldalakkal bíró derékszögű háromszöghöz keresünk egy (nem feltétlenül a háromszög síkjába eső) P pontot, amelyből mindegyik oldal 120o-os szög alatt látszik; x,y,z éppen a P pontnak a háromszög megfelelő csúcsaitól vett távolsága lesz. Könnyen látható, hogy egyetlen ilyen P pont létezik, méghozzá a háromszög belsejében; ezt hívják a háromszög izogonális pontjának. P-t a csúcsokkal összekötő szakaszok a háromszöget három kis háromszögre bontják, melyek területe rendre xysin 120o/2, yzsin 120o/2 és xzsin 120o/2. Ezek összege egyenlő a háromszög területével, amelyről tudjuk, hogy \sqrt{2}\sqrt{3}/2. Az ebből nyert egyenlőség mindkét oldalát 4/\sqrt{3}-mal szorozva kapjuk, hogy xy+yz+xz=2\sqrt{2}.


Statistics:

94 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bakacsi Péter, Berecz Dénes, Bogár 560 Péter, Cséke Balázs, Dékány Tamás, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Gombor Tamás, Gresits Iván, Győrffy Lajos, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Majoros Péter, Márkus Bence, Mercz Béla, Müller Márk, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Pásztor Bálint, Peregi Tamás, Rózsa Levente, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szórádi Márk, Szudi László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Wolosz János.
3 points:28 students.
2 points:3 students.
1 point:4 students.
0 point:14 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley