KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3978. (February 2007)

B. 3978. Prove that the following relationship is true in every triangle: 2R(sa+sb+sc)\gea2+b2+c2. (where a, b, c are the sides, sa, sb, sc are the lengths of the medians and R is the radius of the circumscribed circle.)

(5 pont)

Deadline expired on 19 March 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A 4Rsa\geb2+c2 egyenlőtlenséget fogjuk igazolni. Ha ez megvan, szimmetria okok miatt 4Rsb\gea2+c2 és 4Rsc\gea2+b2 is igaz, a három egyenlőtlenséget összeadva, 2-vel való osztás után nyerjük a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

Mivel (2sa)2=2b2+2c2-a2, a 4Rsa\geb2+c2 egyenlőtlenség ekvivalens a

4R2(2b2+2c2-a2)\ge(b2+c2)2

egyenlőtlenséggel, amit (2R)4-nel leosztva a szinusz tétel alapján

2sin2\beta+2sin2\gamma-sin2\alpha\ge(sin2\beta+sin2\gamma)2

alakra hozhatunk. A sin \alpha=sin (\beta+\gamma)=sin \betacos \gamma+cos \betasin \gamma és cos2x=1-sin2x összefüggések alapján a baloldali kifejezés

2sin2\beta+2sin2\gamma-sin2\betacos2\gamma-cos2\betasin2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=sin2\beta+sin2\gamma+2sin2\betasin2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+(sin2\beta-sin4\beta)+(sin2\gamma-sin4\gamma)-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+sin2\betacos2\beta+sin2\gammacos2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+(sin \betacos \beta-sin \gammacos \gamma)2.

Ez valóban nagyobb vagy egyenlő a jobboldalon álló kifejezésnél, és egyenlőség pontosan sin \betacos \beta=sin \gammacos \gamma esetén áll fenn, vagyis ha sin 2\beta=sin 2\gamma.

Érvényes tehát a feladatban megfogalmazott egyenlőtlenség, ahol egyenlőség pontosan sin 2\alpha=sin 2\beta=sin 2\gamma esetén áll fenn. Mivel nem lehetséges, hogy az egyik szög kétszerese mindkét másik szög kétszeresét 180o-ra egészítse ki, ez csak akkor lehet, ha \alpha=\beta=\gamma, vagyis ha a háromszög szabályos.


Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dinh Van Anh, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:Aczél Gergely, Bartha Éva Lili, Fukker Gábor, Janto¹ík Laura, Kövér Ferenc, Nagy 314 Dániel, Szívós Eszter, Törcsvári Gergő.
3 points:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley