Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3978. (February 2007)

B. 3978. Prove that the following relationship is true in every triangle: 2R(sa+sb+sc)\gea2+b2+c2. (where a, b, c are the sides, sa, sb, sc are the lengths of the medians and R is the radius of the circumscribed circle.)

(5 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A 4Rsa\geb2+c2 egyenlőtlenséget fogjuk igazolni. Ha ez megvan, szimmetria okok miatt 4Rsb\gea2+c2 és 4Rsc\gea2+b2 is igaz, a három egyenlőtlenséget összeadva, 2-vel való osztás után nyerjük a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

Mivel (2sa)2=2b2+2c2-a2, a 4Rsa\geb2+c2 egyenlőtlenség ekvivalens a

4R2(2b2+2c2-a2)\ge(b2+c2)2

egyenlőtlenséggel, amit (2R)4-nel leosztva a szinusz tétel alapján

2sin2\beta+2sin2\gamma-sin2\alpha\ge(sin2\beta+sin2\gamma)2

alakra hozhatunk. A sin \alpha=sin (\beta+\gamma)=sin \betacos \gamma+cos \betasin \gamma és cos2x=1-sin2x összefüggések alapján a baloldali kifejezés

2sin2\beta+2sin2\gamma-sin2\betacos2\gamma-cos2\betasin2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=sin2\beta+sin2\gamma+2sin2\betasin2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+(sin2\beta-sin4\beta)+(sin2\gamma-sin4\gamma)-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+sin2\betacos2\beta+sin2\gammacos2\gamma-2sin \betasin \gammacos \betacos \gamma

=(sin2\beta+sin2\gamma)2+(sin \betacos \beta-sin \gammacos \gamma)2.

Ez valóban nagyobb vagy egyenlő a jobboldalon álló kifejezésnél, és egyenlőség pontosan sin \betacos \beta=sin \gammacos \gamma esetén áll fenn, vagyis ha sin 2\beta=sin 2\gamma.

Érvényes tehát a feladatban megfogalmazott egyenlőtlenség, ahol egyenlőség pontosan sin 2\alpha=sin 2\beta=sin 2\gamma esetén áll fenn. Mivel nem lehetséges, hogy az egyik szög kétszerese mindkét másik szög kétszeresét 180o-ra egészítse ki, ez csak akkor lehet, ha \alpha=\beta=\gamma, vagyis ha a háromszög szabályos.


Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dinh Van Anh, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:Aczél Gergely, Bartha Éva Lili, Fukker Gábor, Janto¹ík Laura, Kövér Ferenc, Nagy 314 Dániel, Szívós Eszter, Törcsvári Gergő.
3 points:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007