Problem B. 3978. (February 2007)

B. 3978. Prove that the following relationship is true in every triangle: 2R(s_a+s_b+s_c) $\ge$ a²+b²+c². (where a, b, c are the sides, s_a, s_b, s_c are the lengths of the medians and R is the radius of the circumscribed circle.)

(5 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A 4Rs_a $\ge$ b²+c² egyenlőtlenséget fogjuk igazolni. Ha ez megvan, szimmetria okok miatt 4Rs_b $\ge$ a²+c² és 4Rs_c $\ge$ a²+b² is igaz, a három egyenlőtlenséget összeadva, 2-vel való osztás után nyerjük a bizonyítandó egyenlőtlenséget.

Mivel (2s_a)²=2b²+2c²-a², a 4Rs_a $\ge$ b²+c² egyenlőtlenség ekvivalens a

4R²(2b²+2c²-a²) $\ge$ (b²+c²)²

egyenlőtlenséggel, amit (2R)⁴-nel leosztva a szinusz tétel alapján

2sin² $\beta$ +2sin² $\gamma$ -sin² $\alpha$ $\ge$ (sin² $\beta$ +sin² $\gamma$ )²

alakra hozhatunk. A sin $\alpha$ =sin ( $\beta$ + $\gamma$ )=sin $\beta$ cos $\gamma$ +cos $\beta$ sin $\gamma$ és cos²x=1-sin²x összefüggések alapján a baloldali kifejezés

2sin² $\beta$ +2sin² $\gamma$ -sin² $\beta$ cos² $\gamma$ -cos² $\beta$ sin² $\gamma$ -2sin $\beta$ sin $\gamma$ cos $\beta$ cos $\gamma$

=sin² $\beta$ +sin² $\gamma$ +2sin² $\beta$ sin² $\gamma$ -2sin $\beta$ sin $\gamma$ cos $\beta$ cos $\gamma$

=(sin² $\beta$ +sin² $\gamma$ )²+(sin² $\beta$ -sin⁴ $\beta$ )+(sin² $\gamma$ -sin⁴ $\gamma$ )-2sin $\beta$ sin $\gamma$ cos $\beta$ cos $\gamma$

=(sin² $\beta$ +sin² $\gamma$ )²+sin² $\beta$ cos² $\beta$ +sin² $\gamma$ cos² $\gamma$ -2sin $\beta$ sin $\gamma$ cos $\beta$ cos $\gamma$

=(sin² $\beta$ +sin² $\gamma$ )²+(sin $\beta$ cos $\beta$ -sin $\gamma$ cos $\gamma$ )².

Ez valóban nagyobb vagy egyenlő a jobboldalon álló kifejezésnél, és egyenlőség pontosan sin $\beta$ cos $\beta$ =sin $\gamma$ cos $\gamma$ esetén áll fenn, vagyis ha sin 2 $\beta$ =sin 2 $\gamma$ .

Érvényes tehát a feladatban megfogalmazott egyenlőtlenség, ahol egyenlőség pontosan sin 2 $\alpha$ =sin 2 $\beta$ =sin 2 $\gamma$ esetén áll fenn. Mivel nem lehetséges, hogy az egyik szög kétszerese mindkét másik szög kétszeresét 180^o-ra egészítse ki, ez csak akkor lehet, ha $\alpha$ = $\beta$ = $\gamma$ , vagyis ha a háromszög szabályos.

Statistics:

21 students sent a solution.

5 points: Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dinh Van Anh, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.

4 points: Aczél Gergely, Bartha Éva Lili, Fukker Gábor, Janto¹ík Laura, Kövér Ferenc, Nagy 314 Dániel, Szívós Eszter, Törcsvári Gergő.

3 points: 1 student.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007

21 students sent a solution.
5 points:	Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Dinh Van Anh, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Tossenberger Anna, Varga 171 László.
4 points:	Aczél Gergely, Bartha Éva Lili, Fukker Gábor, Janto¹ík Laura, Kövér Ferenc, Nagy 314 Dániel, Szívós Eszter, Törcsvári Gergő.
3 points:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?