Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3980. feladat (2007. február)

B. 3980. Az ábrán felülnézetben látható poliéder ,,alaplapjai'' párhuzamos téglalapok, oldalélei egyenlő hosszúak, magassága m. Valaki a poliéder térfogatára a következő képletet találta:

V= \frac{m}{6} \big[(2a+c)b+ (2c+a)d\big].

Igaz-e, hogy a képlet megadja a test térfogatát?

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.

Megoldás: Vágjuk fel a poliédert 9 részre a fedőlap éleire illeszkedő függöleges síkok segítségével. A középső rész egy téglatest lesz, melynek térfogata mcd. A téglatest oldallapjaihoz illeszkedő 4 rész közül két-két szemköztit összetolva egy-egy háromszög alapú hasábot kapunk, melyek térfogata \frac{1}{2}md(a-c), illetve \frac{1}{2}mc(b-d). Végül a négy sarokrészt összeillesztve egy téglalap alapú gúla keletkezik, melynek térfogata \frac{1}{3}m(a-c)(b-d). Ezt a négy térfogatmennyiséget összeadva kis átalakítás után valóban a talált képletet kapjuk.

Statisztika:

163 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:97 versenyző.
2 pontot kapott:20 versenyző.
1 pontot kapott:32 versenyző.
0 pontot kapott:14 versenyző.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai