Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3981. (February 2007)

B. 3981. The real numbers ai, bi (i=1, 2, \ldots, n) satisfy the following inequalities: 0\le
a_n\le a_{n-1}\le \ldots\le a_2\le a_1, and a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_k\le b_1\cdot
b_2\cdot \ldots\cdot b_k, if 1\lek\len. Prove that a_1+\ldots+a_n\le b_1+\ldots+b_n.

(5 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A kitűzésbe sajnos egy kis hiba csúszott, a feladatot a 0<an feltétellel szerettük volna kitűzni. Valóban, ha an=an-1=0, akkor könnyen találhatunk ellenpéldát: legyen bi=ai, ha i<n, és legyen bn=-1. Igazából elegendő lett volna an-1-ről megkövetelni, hogy pozitív legyen; az állítást ezen feltétel mellett fogjuk igazolni. Ha n=1, akkor az állítás nyilván igaz.

Tegyük fel, hogy mégsem igaz az állítás, és tekintsünk egy olyan ellenpéldát, ahol n értéke a lehető legkisebb. Ekkor n\ge2, a_1+\ldots+a_n>b_1+\ldots+b_n, de tetszőleges k<n esetén a_1+\ldots+a_k\le b_1+\ldots+b_k teljesül. Ha valamely 1\lei\len esetén ai=bi lenne, akkor először is ez a közös érték nem lehetne 0 (hiszen az csak i=n esetén következhetne be, akkor viszont a_1+\ldots+a_{n-1}>b_1+\ldots+b_{n-1} is fennállna). Ezért ai=bi esetén mindkét sorozatból elhagyhatnánk az i-edik elemet, az így kapott n-1 hosszú sorozatok pedig újabb ellenpéldát szolgáltatnának. Feltevésünk értelmében azonban ilyen ellenpélda nincs.

Mivel a1\leb1, vagyis az előbbiek szerint a1<b1, kell legyen egy legkisebb j index úgy, hogy a_1<b_1,\ldots,a_j<b_j, de aj+1>bj+1. A feltételek miatt tehát bj+1<aj+1\leaj<bj. Legyen c=min {bj/aj,aj+1/bj+1}. Könnyen ellenőrizhető, hogy cbj+1\lebj/c és cbj+1+bj/c<bj+1+bj. A bi sorozatban bj helyett a bj/c, bj+1 helyett pedig a cbj+1 számot írva, az ai sorozatot változatlanul hagyva, a kapott két sorozatra továbbra is teljesülnek hát a feltételek, ellenpéldát szolgáltatnak, hiszen a b_1+\ldots+b_n érték ugyanannyival csökkent, mint a bj+1+bj, viszont most i=j vagy i=j+1 esetén ai=bi is teljesül. Mint már láttuk, ez nem lehetséges. Ellentmondásra jutottunk, vagyis feltevésünk nem volt helyes. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.


Statistics:

27 students sent a solution.
5 points:Aczél Gergely, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Gőgös Balázs, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Réti Dávid, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 points:Győrffy Lajos.
3 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007