Problem B. 3981. (February 2007)

B. 3981. The real numbers a_i, b_i ( $i=1, 2, \ldots, n$ ) satisfy the following inequalities: $0\le a_n\le a_{n-1}\le \ldots\le a_2\le a_1$ , and $a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_k\le b_1\cdot b_2\cdot \ldots\cdot b_k$ , if 1 $\le$ k $\le$ n. Prove that $a_1+\ldots+a_n\le b_1+\ldots+b_n$ .

(5 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A kitűzésbe sajnos egy kis hiba csúszott, a feladatot a 0<a_n feltétellel szerettük volna kitűzni. Valóban, ha a_n=a_n-1=0, akkor könnyen találhatunk ellenpéldát: legyen b_i=a_i, ha i<n, és legyen b_n=-1. Igazából elegendő lett volna a_n-1-ről megkövetelni, hogy pozitív legyen; az állítást ezen feltétel mellett fogjuk igazolni. Ha n=1, akkor az állítás nyilván igaz.

Tegyük fel, hogy mégsem igaz az állítás, és tekintsünk egy olyan ellenpéldát, ahol n értéke a lehető legkisebb. Ekkor n $\ge$ 2, $a_1+\ldots+a_n>b_1+\ldots+b_n$ , de tetszőleges k<n esetén $a_1+\ldots+a_k\le b_1+\ldots+b_k$ teljesül. Ha valamely 1 $\le$ i $\le$ n esetén a_i=b_i lenne, akkor először is ez a közös érték nem lehetne 0 (hiszen az csak i=n esetén következhetne be, akkor viszont $a_1+\ldots+a_{n-1}>b_1+\ldots+b_{n-1}$ is fennállna). Ezért a_i=b_i esetén mindkét sorozatból elhagyhatnánk az i-edik elemet, az így kapott n-1 hosszú sorozatok pedig újabb ellenpéldát szolgáltatnának. Feltevésünk értelmében azonban ilyen ellenpélda nincs.

Mivel a₁ $\le$ b₁, vagyis az előbbiek szerint a₁<b₁, kell legyen egy legkisebb j index úgy, hogy $a_1<b_1,\ldots,a_j<b_j$ , de a_j+1>b_j+1. A feltételek miatt tehát b_j+1<a_j+1 $\le$ a_j<b_j. Legyen c=min {b_j/a_j,a_j+1/b_j+1}. Könnyen ellenőrizhető, hogy cb_j+1 $\le$ b_j/c és cb_j+1+b_j/c<b_j+1+b_j. A b_i sorozatban b_j helyett a b_j/c, b_j+1 helyett pedig a cb_j+1 számot írva, az a_i sorozatot változatlanul hagyva, a kapott két sorozatra továbbra is teljesülnek hát a feltételek, ellenpéldát szolgáltatnak, hiszen a $b_1+\ldots+b_n$ érték ugyanannyival csökkent, mint a b_j+1+b_j, viszont most i=j vagy i=j+1 esetén a_i=b_i is teljesül. Mint már láttuk, ez nem lehetséges. Ellentmondásra jutottunk, vagyis feltevésünk nem volt helyes. Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Statistics:

27 students sent a solution.

5 points: Aczél Gergely, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Gőgös Balázs, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Réti Dávid, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.

4 points: Győrffy Lajos.

3 points: 1 student.

1 point: 1 student.

0 point: 6 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007

27 students sent a solution.
5 points:	Aczél Gergely, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Gőgös Balázs, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Kunos Ádám, Nagy 314 Dániel, Réti Dávid, Sárkány Lőrinc, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
4 points:	Győrffy Lajos.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?