Problem B. 3983. (March 2007)

B. 3983. A few players are fighting a paintball battle. At a certain time instant, their distances from each other are all different. Then everyone shoots at the person who is closest to them. Is it possible for the paths of the projectiles to intersect each other?

(3 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy két golyó pályája keresztezi egymást az M pontban. Ez azt jelenti, hogy van egy ABCD konvex négyszög úgy, hogy az A csúcsban lévő játékos a C csúcsban lévőre, a B csúcsban lévő pedig a D csúcsban lévőre lő rá, M pedig az AC és BD átlók metszéspontja. Ekkor AD<AC és BC<BD, vagyis AD+BC<AC+BD. Másrészt a háromszög egyenlőtlenség miatt

AC+BD=(AM+MC)+(BM+MD)=(AM+MD)+(BM+MC)<AD+BC,

ami ellentmondás. A golyók pályái tehát nem keresztezhetik egymást.

Statistics:

169 students sent a solution.
3 points:	108 students.
2 points:	10 students.
1 point:	22 students.
0 point:	16 students.
Unfair, not evaluated:	13 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007