Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3986. (March 2007)

B. 3986. Let s(m) denote the number of digits of m for any positive integer m. Find all positive integers n, such that no digit of it is zero and

s(n2)=2s(n).

Suggested by E. Dobribán, (Cluj-Napoca, Romania)

(4 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az n szám k-jegyű, vagyis 10k-1\len<10k, ekkor k\les(n) a feltétel miatt. Mivel n2<102k, az n2 szám legfeljebb 2k-jegyű, vagyis s(n2)\le18k. Ezért

2k\le2s(n)=s(n2)\le18k,

ahonnan k\le6, tehát s(n)\le6 is igaz. Ha s(n)=6 lenne, akkor n osztható lenne 3-mal, vagyis n2 és így 2s(n)=s(n2) is osztható lenne 3-mal. Ezek szerint s(n2) lehetséges érteékei 2,4,8,16,32. Viszont s(n2) ugyanolyan maradékot ad 9-cel osztva, mint n2, ez a maradék pedig csak 0,1,4 vagy 7 lehet. Ezért vagy s(n)=2 és s(n2)=4, vagy pedig s(n)=4 és s(n2)=16.

Az s(n)\in{2,4} feltételnek megfelelő számok a következők:

2,11,4,13,22,31,112,121,211,1111.

Ezek közül az n=4-re s(n)=7, ez tehát nem jó. Az összes többi szám viszont megoldása a feladatnak.


Statistics:

75 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Almási 270 Gábor András, Balogh 147 Ádám, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Berecz Dénes, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Csaba Ákos, Dékány Tamás, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Godó Zita, Gyurcsik Judit, Herber Máté, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Kiss 902 Melinda Flóra, Korom-Vellás Judit, Kriván Bálint, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Novák László, Palincza Richárd, Peregi Tamás, Ratku Antal, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wolosz János.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007