Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3989. (March 2007)

B. 3989. a, b, c are positive numbers, such that a2+b2+c2+abc=4. Prove that a+b+c\le3.

(5 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha a,b,c\ge1, akkor a=b=c=1 és így a+b+c=3. Hasonló a helyzet akkor is, ha a,b,c\le1. Nyilván mindhárom szám kisebb, mint 2. Feltehetjük tehát, hogy a=1-x, b=1-y, c=1-z, ahol -1<x,y,z<1, és az x,y,z számok közül pontosan egy negatív, vagy pedig kettő negatív és a harmadik pozitív. A feltétel szerint

x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=3(x+y+z),

és az x+y+z\ge0 állítást kell bizonyítani.

Ha x,y,z közül pontosan egy negatív, akkor szimmetria okok miatt feltehető, hogy x<0 és y,z\ge0. Ekkor

x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=(y2+xy+x2/4)+(z2+xz+z2/4)+(x2/2+yz-xyz),

ahol az összeg első két tagja, teljes négyzet lévén, nemnegatív, a harmadik pedig pozitív, vagyis 3(x+y+z)>0, a+b+c<3. Ha pedig x,y<0 és z>0, akkor

x2+y2+z2+xy+xz+yz-xyz=(x2+xz+z2/4)+(y2+yz+z2/4)+xy(1-z)+z2/2,

ahol az összeg első két tagja ismétcsak nemnegatív, a harmadik és negyedik pedig pozitív. Tehát most is igaz, hogy x+y+z>0, a+b+c<3.

Minden esetben igaz tehát, hogy a+b+c\le3, egyenlőség pedig csakis a=b=c=1 esetén állhat fenn.

Statistics:

55 students sent a solution.
5 points:Ábrók Levente, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Bozi Veronika, Csaba Ákos, Cseh Ágnes, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Fukker Gábor, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Janto¹ík Laura, Kardos Kinga Gabriela, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kurgyis Eszter, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Nagy 314 Dániel, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Véges Márton, Wolosz János.
4 points:Bodor Bertalan, Nagy-Baló András, Varga 171 László.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:8 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007