Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3990. (March 2007)

B. 3990. Prove that in a right-angled triangle the intersections of the bisectors of the acute angles with the circumscribed circle are collinear with the points where the inscribed circle touches the legs.

(4 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az ABC háromszögnek legyen C-nél derékszöge, az O középpontú beírt kör érintse a BC és AC oldalakat rendre az E és F pontokban, az AO és BO egyeneseknek a körülírt körrel alkotott metszéspontja pedig legyen G, illetve H. EO párhuzamos AC-vel, ezért a BAG, GAC és GOE szögek nagysága egyaránt \alpha/2. Ezért az ABG derékszögű háromszögben az ABG szög nagysága 90o-\alpha/2=\beta+\alpha/2. Tehát a GBE szög nagysága is \alpha/2, vagyis az EOBG négyszög húrnégyszög.

Az OBG szög nagysága \alpha/2+\beta/2=45o, vagyis a GEO szög 135o-os. Ezzel szemben az OEF egyenlőszárú derékszögű háromszögben az OEF szög 45o-os, vagyis a G,E,H pontok ebben sorrendben egy egyenesre esnek. Ugyanilyen alapon az E,F,H pontok is egy egyenesre esnek, vagyis mind a négy pont rajta van az EF egyenesen.


Statistics:

117 students sent a solution.
4 points:72 students.
3 points:21 students.
2 points:8 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007