KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3990. Prove that in a right-angled triangle the intersections of the bisectors of the acute angles with the circumscribed circle are collinear with the points where the inscribed circle touches the legs.

(4 points)

Deadline expired on 16 April 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az ABC háromszögnek legyen C-nél derékszöge, az O középpontú beírt kör érintse a BC és AC oldalakat rendre az E és F pontokban, az AO és BO egyeneseknek a körülírt körrel alkotott metszéspontja pedig legyen G, illetve H. EO párhuzamos AC-vel, ezért a BAG, GAC és GOE szögek nagysága egyaránt \alpha/2. Ezért az ABG derékszögű háromszögben az ABG szög nagysága 90o-\alpha/2=\beta+\alpha/2. Tehát a GBE szög nagysága is \alpha/2, vagyis az EOBG négyszög húrnégyszög.

Az OBG szög nagysága \alpha/2+\beta/2=45o, vagyis a GEO szög 135o-os. Ezzel szemben az OEF egyenlőszárú derékszögű háromszögben az OEF szög 45o-os, vagyis a G,E,H pontok ebben sorrendben egy egyenesre esnek. Ugyanilyen alapon az E,F,H pontok is egy egyenesre esnek, vagyis mind a négy pont rajta van az EF egyenesen.


Statistics on problem B. 3990.
117 students sent a solution.
4 points:72 students.
3 points:21 students.
2 points:8 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley