KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Hírek Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3990. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek szögfelezőinek és a körülírt körnek a metszéspontjai, valamint a befogók és a beírt kör érintési pontjai egy egyenesen vannak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-én LEJÁRT.


Megoldás: Az ABC háromszögnek legyen C-nél derékszöge, az O középpontú beírt kör érintse a BC és AC oldalakat rendre az E és F pontokban, az AO és BO egyeneseknek a körülírt körrel alkotott metszéspontja pedig legyen G, illetve H. EO párhuzamos AC-vel, ezért a BAG, GAC és GOE szögek nagysága egyaránt \alpha/2. Ezért az ABG derékszögű háromszögben az ABG szög nagysága 90o-\alpha/2=\beta+\alpha/2. Tehát a GBE szög nagysága is \alpha/2, vagyis az EOBG négyszög húrnégyszög.

Az OBG szög nagysága \alpha/2+\beta/2=45o, vagyis a GEO szög 135o-os. Ezzel szemben az OEF egyenlőszárú derékszögű háromszögben az OEF szög 45o-os, vagyis a G,E,H pontok ebben sorrendben egy egyenesre esnek. Ugyanilyen alapon az E,F,H pontok is egy egyenesre esnek, vagyis mind a négy pont rajta van az EF egyenesen.


A B. 3990. feladat statisztikája
117 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:72 versenyző.
3 pontot kapott:21 versenyző.
2 pontot kapott:8 versenyző.
1 pontot kapott:4 versenyző.
0 pontot kapott:3 versenyző.
Nem versenyszerű:9 dolgozat.


  • A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley