B. 3990. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek szögfelezőinek és a körülírt körnek a metszéspontjai, valamint a befogók és a beírt kör érintési pontjai egy egyenesen vannak.

(4 pont)

A beküldési határidő LEJÁRT.

Megoldás: Az ABC háromszögnek legyen C-nél derékszöge, az O középpontú beírt kör érintse a BC és AC oldalakat rendre az E és F pontokban, az AO és BO egyeneseknek a körülírt körrel alkotott metszéspontja pedig legyen G, illetve H. EO párhuzamos AC-vel, ezért a BAG, GAC és GOE szögek nagysága egyaránt /2. Ezért az ABG derékszögű háromszögben az ABG szög nagysága 90^o-/2=+/2. Tehát a GBE szög nagysága is /2, vagyis az EOBG négyszög húrnégyszög.

Az OBG szög nagysága /2+/2=45^o, vagyis a GEO szög 135^o-os. Ezzel szemben az OEF egyenlőszárú derékszögű háromszögben az OEF szög 45^o-os, vagyis a G,E,H pontok ebben sorrendben egy egyenesre esnek. Ugyanilyen alapon az E,F,H pontok is egy egyenesre esnek, vagyis mind a négy pont rajta van az EF egyenesen.

A B. 3990. feladat statisztikája 117 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 72 versenyző. 3 pontot kapott: 21 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 9 dolgozat.