A B. 3990. feladat (2007. március)

B. 3990. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű háromszögben a hegyesszögek szögfelezőinek és a körülírt körnek a metszéspontjai, valamint a befogók és a beírt kör érintési pontjai egy egyenesen vannak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Az ABC háromszögnek legyen C-nél derékszöge, az O középpontú beírt kör érintse a BC és AC oldalakat rendre az E és F pontokban, az AO és BO egyeneseknek a körülírt körrel alkotott metszéspontja pedig legyen G, illetve H. EO párhuzamos AC-vel, ezért a BAG, GAC és GOE szögek nagysága egyaránt $\alpha$ /2. Ezért az ABG derékszögű háromszögben az ABG szög nagysága 90^o- $\alpha$ /2= $\beta$ + $\alpha$ /2. Tehát a GBE szög nagysága is $\alpha$ /2, vagyis az EOBG négyszög húrnégyszög.

Az OBG szög nagysága $\alpha$ /2+ $\beta$ /2=45^o, vagyis a GEO szög 135^o-os. Ezzel szemben az OEF egyenlőszárú derékszögű háromszögben az OEF szög 45^o-os, vagyis a G,E,H pontok ebben sorrendben egy egyenesre esnek. Ugyanilyen alapon az E,F,H pontok is egy egyenesre esnek, vagyis mind a négy pont rajta van az EF egyenesen.

Statisztika:

117 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 72 versenyző.

3 pontot kapott: 21 versenyző.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

Nem versenyszerű: 9 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai

117 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	72 versenyző.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?