Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 3992. (April 2007)

B. 3992. A few players are fighting a paintball battle. At a certain time instant, the distances between the players are pairwise different. Everyone shoots at the player closest to him. At most how many players may shoot at the same player?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Tegyük fel, hogy az A és a B pontban álló ember is a C pontban állóra lő, és a=BC<AC=b. Ekkor persze c=AB>b. Tegyük fel még azt is, hogy az ABC szög, \gamma\le60o. (0o nyilván nem lehet, mert akkor c=b-a lenne.) Az ABC háromszögre a koszinusz-tételt felírva

c2=a2+b2-2abcos \gamma\lea2+b2-ab=a(a-b)+b2<b2<c2

következne, ami ellentmondás.

Ha tehát többen is lőnek ugyanarra az emberre, akkor ezen lövések közül bármely kettő pályája több, mint 60o-os szöget zár be, vagyis legfeljebb öten lőhetnek ugyanarra az emberre. Ez meg is valósulhat: ha hat ember játszik úgy, hogy öten egy szabályos ötszög csúcsaiban állnak, míg a hatodik a középpontjában, majd egy picit elmozdulnak úgy, hogy távolságaik mind különbözők legyenek, akkor az első öt játékos mindegyike a hatodik játékosra fog lőni. A gondolat egy konkrét megvalósítása a következő lehet. Egy szabályos ötszög oldalai hosszabbak, mint a középpontnak a csúcsoktól vett távolsága. Válasszunk egy olyan szabályos ötszöget, amelynek oldala 10 lépéssel hosszabb, mint a csúcsoknak a középponttól vett távolsága. A csúcsokban álló játékosok távolodjanak el a középpontban álló hatodik játékostól az őket azzal összekötő egyenes mentén rendre 1,2,3,4, illetve 5 lépéssel. Ezzel egymástól vett távolságuk csak nő, tehát közülük bármely kettő messzebb lesz egymástól, mint akármelyikük a hatodik játékostól. Könnyű ellenőrizni, hogy egymás közötti távolságaik is mind különbözők lesznek.


Statistics:

127 students sent a solution.
4 points:64 students.
3 points:29 students.
2 points:8 students.
1 point:7 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007