Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3993. (April 2007)

B. 3993. In a sequence of real numbers, the sum every 5 consecutive terms is positive, and the sum of every 7 consecutive terms is negative. How long may be the sequence?

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: 10 hosszú sorozatra jó példa az 5,-7,5,-7,5,5,-7,5,-7,5 sorozat, és ennek bármely néhány egymást követő tagja is jó sorozatot alkot, vagyis 1\len\le10 esetén létezik ilyen sorozat. Megmutatjuk, hogy 11 hosszú sorozat már nem adható meg a kívánt módon, ebből következik, hogy n\ge11 esetén nincsen megfelelő n hosszúságú sorozat. Tegyük fel, hogy mégiscsak létezik ilyen 11 hosszú sorozat. Ebben bármely két egymást követő tag valamelyik irányban kiegészíthető a sorozat 7 egymást követő tagjává, melyek összege negatív, de a hozzávett 5 tag összege pozitív. Ebből következik, hogy a sorozat bármely két egymást követő tagjának összege negatív. Ekkor azonban az első 10 tag összege egyszerre pozitív és negatív is kell, hogy legyen, ami nem lehetséges.


Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:67 students.
3 points:4 students.
2 points:7 students.
1 point:1 student.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007