Problem B. 3993. (April 2007)
B. 3993. In a sequence of real numbers, the sum every 5 consecutive terms is positive, and the sum of every 7 consecutive terms is negative. How long may be the sequence?
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: 10 hosszú sorozatra jó példa az 5,-7,5,-7,5,5,-7,5,-7,5 sorozat, és ennek bármely néhány egymást követő tagja is jó sorozatot alkot, vagyis 1n10 esetén létezik ilyen sorozat. Megmutatjuk, hogy 11 hosszú sorozat már nem adható meg a kívánt módon, ebből következik, hogy n11 esetén nincsen megfelelő n hosszúságú sorozat. Tegyük fel, hogy mégiscsak létezik ilyen 11 hosszú sorozat. Ebben bármely két egymást követő tag valamelyik irányban kiegészíthető a sorozat 7 egymást követő tagjává, melyek összege negatív, de a hozzávett 5 tag összege pozitív. Ebből következik, hogy a sorozat bármely két egymást követő tagjának összege negatív. Ekkor azonban az első 10 tag összege egyszerre pozitív és negatív is kell, hogy legyen, ami nem lehetséges.
Statistics:
87 students sent a solution. 4 points: 67 students. 3 points: 4 students. 2 points: 7 students. 1 point: 1 student. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007