KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3995. (April 2007)

B. 3995. A, B, C, D are collinear points in this order. Draw the regular triangles ABE and CDF on one side of the line. Let G denote the intersection of the circles ACE and BDF on the same side of the line ABCD. Prove that AGD\sphericalangle =120^\circ.

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az AEGC négyszög húrnégyszög, tehát az AEG és ACG szögek egymást 180o-ra egészítik ki, akárcsak a DCG és ACG szögek, vagyis az AEG szög egyenlő a DCG szöggel. Ugyanígy kapjuk, hogy a DFG és ABG szögek is egyenlők. Az EAB és CDF háromszögek alapból hasonlók, a fenti egyenlőségek miatt tehát az EGB és CGF háromszögek is hasonlók, mégpedig a hasonlóság aránya mindkét esetben EB:CF.

Ebből adódik az AEG és DCG háromszögek ugyanilyen arányú hasonlósága. Mivel az EA és CD félegyenesek 120o-os szöget zárnak be, az AEG háromszöget G középpontú, 120o-os szögű forgatva nyújtás viszi a DCG háromszögbe, minek során az AG szakasz a DG szakaszba transzformálódik. Ez bizonyítja az állítást.


Statistics:

67 students sent a solution.
4 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Csizmadija Laura, Énekes Péter, Fábik Zoltán, Fonyó Dávid, Godó Zita, Gombor Tamás, Horváth 385 Vanda, Horváth Bálint, Hursán Zsófia, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly Csaba, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kurgyis Eszter, Kurgyis Kata, Lovas Lia Izabella, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Pintér Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tóth 796 Balázs, Vajsz Tibor, Varga 171 László, Varga 868 András, Wagner Zsolt.
3 points:Bartha Éva Lili, Déri Nóra, Dinh Hoangthanh Attila, Farkas Márton, Kornis Kristóf, Perjési Gábor, Szabó 895 Dávid, Vas Edina.
2 points:3 students.
1 point:3 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:9 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley