A B. 3995. feladat (2007. április)

B. 3995. Az A, B, C, D pontok ebben a sorrendben egy egyenesre esnek. Az egyenes egyik oldalán rajzoljuk meg az ABE és CDF szabályos háromszögeket. Legyen G az ACE és BDF körök metszéspontja az ABCD egyenes ugyanazon oldalán. Igazoljuk, hogy .

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az AEGC négyszög húrnégyszög, tehát az AEG és ACG szögek egymást 180^o-ra egészítik ki, akárcsak a DCG és ACG szögek, vagyis az AEG szög egyenlő a DCG szöggel. Ugyanígy kapjuk, hogy a DFG és ABG szögek is egyenlők. Az EAB és CDF háromszögek alapból hasonlók, a fenti egyenlőségek miatt tehát az EGB és CGF háromszögek is hasonlók, mégpedig a hasonlóság aránya mindkét esetben EB:CF.

Ebből adódik az AEG és DCG háromszögek ugyanilyen arányú hasonlósága. Mivel az EA és CD félegyenesek 120^o-os szöget zárnak be, az AEG háromszöget G középpontú, 120^o-os szögű forgatva nyújtás viszi a DCG háromszögbe, minek során az AG szakasz a DG szakaszba transzformálódik. Ez bizonyítja az állítást.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Csizmadija Laura, Énekes Péter, Fábik Zoltán, Fonyó Dávid, Godó Zita, Gombor Tamás, Horváth 385 Vanda, Horváth Bálint, Hursán Zsófia, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Konkoly Csaba, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kurgyis Eszter, Kurgyis Kata, Lovas Lia Izabella, Nagy-Baló András, Németh Kitti Noémi, Páldy Sándor, Pintér Zsófia, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szalai Zsófia, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Ta Phuong Linh, Tóth 796 Balázs, Vajsz Tibor, Varga 171 László, Varga 868 András, Wagner Zsolt.
3 pontot kapott:	Bartha Éva Lili, Déri Nóra, Dinh Hoangthanh Attila, Farkas Márton, Kornis Kristóf, Perjési Gábor, Szabó 895 Dávid, Vas Edina.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	9 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai