Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 3997. (April 2007)

B. 3997. Prove that if the product of the real numbers x, y, z is 1, then

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x+y+z).

(4 pont)

Deadline expired on May 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az a2+b2\ge2ab egyenlőtlenség felhasználásával kapjuk, hogy

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x2y2+y2z2+z2x2).

Ugyanígy a2b2+b2c2\ge2(ab)(ac)=2ab2c miatt

2(x2y2+y2z2+z2x2)\ge2(x2yz+xy2z+xyz2)=2xyz(x+y+z)=2(x+y+z),

a bizonyítandó állítás tehát következik a két egyenlőtlenség konkatenációjából. Az első helyen akkor van egyenlőség, ha x2=y2=z2, a második helyen pedig akkor, ha xy=xz=yz. Egyenlőség esete tehát pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám 1-gyel egyenlő.


Statistics:

109 students sent a solution.
4 points:86 students.
3 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007