KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 3997. Prove that if the product of the real numbers x, y, z is 1, then

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x+y+z).

(4 points)

Deadline expired on 15 May 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az a2+b2\ge2ab egyenlőtlenség felhasználásával kapjuk, hogy

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x2y2+y2z2+z2x2).

Ugyanígy a2b2+b2c2\ge2(ab)(ac)=2ab2c miatt

2(x2y2+y2z2+z2x2)\ge2(x2yz+xy2z+xyz2)=2xyz(x+y+z)=2(x+y+z),

a bizonyítandó állítás tehát következik a két egyenlőtlenség konkatenációjából. Az első helyen akkor van egyenlőség, ha x2=y2=z2, a második helyen pedig akkor, ha xy=xz=yz. Egyenlőség esete tehát pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám 1-gyel egyenlő.


Statistics on problem B. 3997.
109 students sent a solution.
4 points:86 students.
3 points:12 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley