Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A B. 3997. feladat (2007. április)

B. 3997. Igazoljuk, hogy ha az x, y, z valós számok szorzata 1, akkor

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x+y+z).

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. május 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Az a2+b2\ge2ab egyenlőtlenség felhasználásával kapjuk, hogy

x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2\ge2(x2y2+y2z2+z2x2).

Ugyanígy a2b2+b2c2\ge2(ab)(ac)=2ab2c miatt

2(x2y2+y2z2+z2x2)\ge2(x2yz+xy2z+xyz2)=2xyz(x+y+z)=2(x+y+z),

a bizonyítandó állítás tehát következik a két egyenlőtlenség konkatenációjából. Az első helyen akkor van egyenlőség, ha x2=y2=z2, a második helyen pedig akkor, ha xy=xz=yz. Egyenlőség esete tehát pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám 1-gyel egyenlő.


Statisztika:

109 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:86 versenyző.
3 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:6 dolgozat.

A KöMaL 2007. áprilisi matematika feladatai