Problem B. 3999. (April 2007)
B. 3999. A regular dodecahedron is inscribed in a unit sphere and vectors are drawn from the centre of the sphere to the vertices. What is the sum of these vectors?
(4 pont)
Deadline expired on May 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Szemeljük ki a dodekaéder egyik A csúcsát. Minden csúcsban három szabályos ötszöglap találkozik. Az A csúcsot a gömb O középpontjával összekötő tA tengely körüli 120o-os forgatás az A csúcsban található lapokat egymás között ciklikusan felcseréli. Az A csúcsban találkozó lapokból kiindulva felépíthetjük a dodekaédert úgy, hogy minden csúcsban, ahol eddig két már felépített lap találkozik, felépítjük a hiányzó harmadik lapot. Tehát a fenti forgatás az egész dodekaédert, következésképpen a szóban forgó v összegvektort is saját magába viszi, vagyis v párhuzamos kell legyen a tA tengellyel. Ugyanígy v párhuzamos az A-val szomszédos bármely B csúcsot O-val összekötő tB tengellyel is. Mivel tA és tB egymással nem párhuzamos, ez csak v=0 esetén lehetséges. Még egyszerűbb a bizonyítás, ha tudjuk, hogy a dodekaéder szimmetrikus az O pontra: ebből rögtön következik, hogy az O-ra vonatkozó tükrözés a dodekaédert, és így a v vektort is saját magába viszi.
Statistics:
90 students sent a solution. 4 points: 52 students. 3 points: 26 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2007