KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 3999. (April 2007)

B. 3999. A regular dodecahedron is inscribed in a unit sphere and vectors are drawn from the centre of the sphere to the vertices. What is the sum of these vectors?

(4 pont)

Deadline expired on 15 May 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Szemeljük ki a dodekaéder egyik A csúcsát. Minden csúcsban három szabályos ötszöglap találkozik. Az A csúcsot a gömb O középpontjával összekötő tA tengely körüli 120o-os forgatás az A csúcsban található lapokat egymás között ciklikusan felcseréli. Az A csúcsban találkozó lapokból kiindulva felépíthetjük a dodekaédert úgy, hogy minden csúcsban, ahol eddig két már felépített lap találkozik, felépítjük a hiányzó harmadik lapot. Tehát a fenti forgatás az egész dodekaédert, következésképpen a szóban forgó v összegvektort is saját magába viszi, vagyis v párhuzamos kell legyen a tA tengellyel. Ugyanígy v párhuzamos az A-val szomszédos bármely B csúcsot O-val összekötő tB tengellyel is. Mivel tA és tB egymással nem párhuzamos, ez csak v=0 esetén lehetséges. Még egyszerűbb a bizonyítás, ha tudjuk, hogy a dodekaéder szimmetrikus az O pontra: ebből rögtön következik, hogy az O-ra vonatkozó tükrözés a dodekaédert, és így a v vektort is saját magába viszi.


Statistics:

90 students sent a solution.
4 points:52 students.
3 points:26 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley