KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4000. (April 2007)

B. 4000. Find the smallest possible value of x2+y2, given that x and y are real numbers, x\ne0 and xy(x2-y2)=x2+y2.

Competition problem from Britain

(5 pont)

Deadline expired on 15 May 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Ha x\ne0, akkor a jobboldal pozitív, tehát y sem lehet 0. T=x2+y2 legkisebb lehetséges értékének meghatározásához feltehetjük, hogy x,y>0. Ha ugyanis a két szám közül egyik pozitív, a másik pedig negatív, akkor x helyébe -y-t, y helyébe pedig x-et írva olyan számokat kapunk, amelyekre továbbra is teljesül az egyenlőség, előjelük megegyezik, T értéke pedig vátozatlan. Ha pedig mindkét szám negatív, akkor mindkettőt helyettesíthetjük az ellentettjével.

Legyen tehát x,y>0, ekkor x>y, vagyis x=y+z alkalmas z pozitív egész számmal. Ekkor az egyenlőség

(y+z)yz(2y+z)=(y+z)2+y2,

vagyis

yz(2y2+3yz+z2)=(2y2+2yz+z2)

alakba írható, ami a V=yz helyettesítéssel V(T+V)=T alakra hozható, vagyis

T=\frac{V^2}{1-V}.

A 2y^2+z^2\ge 2\sqrt{2}yz egyenlőtlenség miatt (ahol egyenlőség z=\sqrt{2}y esetén áll fenn) tudjuk, hogy T\ge (2\sqrt{2}+2)V. Mivel T,V>0, vagyis 0<V<1, innen kapjuk, hogy

(2\sqrt{2}+2)V(1-V)\ge V^2,

ahonnan

V\ge \frac{2\sqrt{2}+2}{2\sqrt{2}+3}=\frac{2}{\sqrt{2}+1}=2(\sqrt{2}-1),

vagyis T\ge (2\sqrt{2}+2)V\ge 4. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

T=\frac{V^2}{1-V}=(2\sqrt{2}+2)V,

vagyis ha yz=V=2(\sqrt{2}-1) és z=\sqrt{2}y, azaz y=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x=\sqrt{2+\sqrt{2}} esetén.

Az adott feltételek mellett tehát x2+y2 legkisebb lehetséges értéke 4, és ezt összesen négy különböző x,y valós számpárra veszi fel, melyek felsorolását az olvasóra bízzuk.


Statistics:

52 students sent a solution.
5 points:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Fonyó Dávid, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Peregi Tamás, Réti Dávid, Sárkány Lőrinc, Szikszay László, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:Bencs 111 Ferenc, Bozi Veronika, Éles András, Fridrik József Richárd, Gévay Gábor, Godó Zita, Horváth 385 Vanda, Kardos Kinga Gabriela, Keresztfalvi Tibor, Márkus Bence Gábor, Mihálykó Ágnes, Páldy Sándor, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalai Szilárd, Szalóki Dávid, Szűcs Gergely, Tóth 666 László Márton, Véges Márton.
3 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley