KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4001. (April 2007)

B. 4001. Xenia, Yvette and Zoe are friends. On a certain day, each of them makes a one-hour visit in the same internet café that is open from 12 noon to 8 pm. Each visits at a random time, independently of the others. What is the probability that they all meet there?

(5 pont)

Deadline expired on 15 May 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az egyszerűség kedvéért először vizsgáljuk meg annak a valószínűségét, hogy Xénia és Yvett összefutnak. Mindeketten déli 12 óra (vegyük ezt a 0 időpillanatnak) és délután 7 óra (a 7 időpillanat) között kell, hogy érkezzenek, Xénia mondjuk az x, Yvett az y időpillanatban. Az (x,y) pont tehát az U=[0,7]×[0,7] négyzet egy véletlenszerűen választott pontja, de hogy milyen értelemben, azt egy kicsit pontosítanunk kellene. Világos például, hogy ha 0\lea<b\le7 és 0\lec<d\le7, akkor annak valószínűsége, hogy a\lex\leb és c\ley\led, röviden P(a\lex\leb,c\ley\led), meg kell hogy egyezzen a két esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával, ezt jelenti az események függetlensége. Tehát

P(a\le x\le b, c\le y\le d)=P(a\le x\le b)\cdot P( c\le y\le d)=
\frac{b-a}{7}\cdot\frac{d-c}{7},

ahol a második egyenlőséget annak értelmezése alapján írtuk fel, hogy Xénia és Yvett is véletleszerűen választottak időpontot, vagyis x és y is ún. egyenletes eloszlású véletlen változók a [0,7] intervallumon. Intuíciónk alapján mindenesetre ezt nyilvánvalónak tekinthetjük.

Az előbbi felismerést úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha egy olyan esemény bekövetkezésének valószínűségére vagyunk kíváncsiak, amelynek megfelelő (x,y) pontok az U négyzeten belül egy tengelypárhuzamos téglalapot alkotnak, akkor ez a valószínűség arányos a téglalap terűletével, ha pedig a téglalap az egész U négyzet, akkor a megfelelő valószínűség 1-gyel egyenlő.

Tekintsük most azt az eseményt, hogy Xénia és Yvett összefutnak, ez azt jelenti, hogy x-1\ley\lex+1, vagyis a megfelelő (x,y) pontok az U-n belül egy olyan tartományt alkotnak, amelyet az y=x-1 és y=x+1 egyenletű egyenesek vágnak ki U-ból. Ez a valószínűség is arányos kell legyen a megfelelő tartomány területével, hiszen azt mind belülről, mint kívülről tetszőlegesen megközelíthetjük egymásba nem nyúló téglalapok uniójával (ennek a prezíz kidolgozása az ún. mértékelmélet alapgondolata). Így már könnyen kiszámolhatjuk, hogy a szóban forgó valószínűség 13/49.

Rátérve az eredeti feladat megoldására, Zita érkezéséhez is rendeljünk hozzá egy z valószínűségi változót, amely a [0,7] intervallumon egyenletes eloszlású. A fentiekből már világos lehet, hogy most a K=[0,7]×[0,7]×[0,7] kocka térfogatán belül kell meghatároznunk annak a résznek az arányát, amelyet azon (x,y,z) pontok alkotnak, amelyek egyszerre kielégítik az

x-1\ley\lex+1,  x-1\lez\lex+1,  y-1\lez\ley+1

feltételeket. Szimmetria okok miatt ennek az L résznek a térfogata 6-szor akkora, mint L azon L' részének, amelyre az x\gey\gez feltételek is teljesülnek. Az x\gey\gez feltételek az U kockán belül egy tetraédert határoznak meg, ezt kell elvágnunk az x=z+1 egyenletű síkkal. Ha tehát az L' részt a z=6 egyenletű síkkal kettévágjuk, akkor az szétesik egy olyan 6 magasságú ferde hasábra, amelynek alapja egy egység oldalú derékszögű háromszög, és egy olyan tetraéderre, amelynek ugyanilyen háromszög az alapja, a magassága pedig 1. Ennek alapján L' térfogata 6/2+1/6=19/6, L térfogata 19 egység. Mivel pedig K térfogata 73=343 egység, a keresett valószínűség 19/343, ennyi annak a valószínűsége, hogy mindhárom barátnő összetalálkozik a kávézóban.


Statistics:

60 students sent a solution.
5 points:Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Cseh Ágnes, Dinh Van Anh, Éles András, Farkas Ádám László, Fonyó Dávid, Fridrik József Richárd, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Mercz Béla, Rózsa Levente, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 points:Balambér Dávid, Bencs 111 Ferenc, Csaba Ákos, Gévay Gábor, Horváth 885 Péter, Kunos Ádám, Szalkai Balázs, Tóth 666 László Márton.
3 points:1 student.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley