KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4002. Prove that if n>1 is an integer then there exists a sequence of integers a1=n<a2<a3<..., such that a12+...+ak2 is divisible by the number a1+...+ak for all values of k.

(3 points)

Deadline expired on 15 June 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Tegyük fel, hogy rögzített n mellett az a_1,a_2,\ldots, a_k számokat már megtaláltuk úgy, hogy n=a_1<a_2<\ldots<a_k,

s=a_1+a_2+\ldots+a_k\mid a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2=t

és s<t. Ezt k=1 esetén nyilván meg tudjuk tenni, hiszen n\mid n^2 és n<n2. Az x=ak+1 számra teljesülnie kell az x+s\mid x^2+t oszthatóságnak. Mivel x+s\mid x^2-s^2, ez ekvivalens az x+s\mid s^2+t feltétellel, amit x=s2-s+t nyilván kielégít. Ekkor ak\les<t\lex is teljesül, és nyilván s+x<t+x2 is. A rekurzív definíció elve alapján tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező sorozat.


Statistics on problem B. 4002.
45 students sent a solution.
3 points:Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.
2 points:Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.
1 point:4 students.
0 point:1 student.
Unfair, not evaluated:3 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley