Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4003. (May 2007)

B. 4003. P_1,P_2,\ldots,P_{2007} are given points in the plane, no three of which are collinear. Show that for all 1\lei\le2007 there is an even number of triangles PjPkPl that contain Pi in the interior.

(British competition problem)

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Oldjuk meg először a feladatot 2007 helyett 5 ponttal. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az 5 pont közül bármelyikre igaz, hogy a másik 4 pont által meghatározott 4 háromszög közül vagy 0, vagy 2, de mindenképpen páros sok háromszögnek lesz belső pontja.

Egy adott Pi pontra számoljuk össze az összes olyan (A,B) párt, ahol A és B a pontok egy-egy 3-, illetve 5-elemű részhalmaza, ahol Pi\inB, A\subsetB és Pi az A-beli pontok által meghatározott háromszög belsejébe esik. Mi az összes ilyen (A,B) párban fellelhető különböző A halmazok n számára vagyunk kíváncsiak. Minden ilyen A={Pj,Pk,Pl} halmazt pontosan 2003-féleképpen egészíthetünk ki egy megfelelő B halmazzá, vagyis a megfelelő (A,B) párok száma éppen 2003n. Másrészt az első észrevételünk szerint minden egyes Pi-t tartalmazó B halmaz páros sok ilyen (A,B) párban szerepel, tehát az összes (A,B) pár száma páros. Innen már látszik, hogy n is páros szám kell legyen.


Statistics:

48 students sent a solution.
5 points:Aczél Gergely, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dudás Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Perjési Gábor, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János, Zelena Réka.
4 points:Cseh Ágnes, Dinh Hoangthanh Attila, Godó Zita, Konkoly Csaba, Sárkány Lőrinc.
3 points:1 student.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007