KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English Információ A lap Pontverseny Cikkekről Távoktatás Hírek Fórum Internetes Tesztverseny
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
A verseny állása
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

 

Rendelje meg a KöMaL-t!

Támogatóink:

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Reklám:

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4003. Adottak a síkon a P_1,P_2,\ldots,P_{2007} pontok, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy minden 1\lei\le2007-re páros sok olyan PjPkPl háromszög létezik, amelynek Pi belső pontja.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határid LEJÁRT.


Megoldás: Oldjuk meg először a feladatot 2007 helyett 5 ponttal. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az 5 pont közül bármelyikre igaz, hogy a másik 4 pont által meghatározott 4 háromszög közül vagy 0, vagy 2, de mindenképpen páros sok háromszögnek lesz belső pontja.

Egy adott Pi pontra számoljuk össze az összes olyan (A,B) párt, ahol A és B a pontok egy-egy 3-, illetve 5-elemű részhalmaza, ahol Pi\inB, A\subsetB és Pi az A-beli pontok által meghatározott háromszög belsejébe esik. Mi az összes ilyen (A,B) párban fellelhető különböző A halmazok n számára vagyunk kíváncsiak. Minden ilyen A={Pj,Pk,Pl} halmazt pontosan 2003-féleképpen egészíthetünk ki egy megfelelő B halmazzá, vagyis a megfelelő (A,B) párok száma éppen 2003n. Másrészt az első észrevételünk szerint minden egyes Pi-t tartalmazó B halmaz páros sok ilyen (A,B) párban szerepel, tehát az összes (A,B) pár száma páros. Innen már látszik, hogy n is páros szám kell legyen.


A B. 4003. feladat statisztikája
48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Aczél Gergely, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dudás Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Perjési Gábor, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János, Zelena Réka.
4 pontot kapott:Cseh Ágnes, Dinh Hoangthanh Attila, Godó Zita, Konkoly Csaba, Sárkány Lőrinc.
3 pontot kapott:1 versenyz .
2 pontot kapott:1 versenyz .
1 pontot kapott:1 versenyz .
Nem versenyszer :1 dolgozat.


  • A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Szerencsejáték Zrt.   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   ELTE   Nemzeti Tehetség Program   Nemzeti
Kulturális Alap