Problem B. 4006. (May 2007)

B. 4006. a, b, c are the sides of a triangle, such that a+b=2c. Prove that the centres of the inscribed and circumscribed circles are concyclic with the midpoints of the sides a and b.

(4 pont)

Deadline expired on June 15, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját F_a,F_b, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az E_a,E_b pontokban. Mivel a CO szakasz az F_a és F_b pontokból is 90^o-os szög alatt látszik, az F_a,C,F_b és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az E_a,C,E_b és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az E_aE_b egyenes elválasztja a C és K pontokat, az E_aKE_b szög a háromszög C-nél lévő szögét 180^o-ra egészíti ki.

Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy ab, mondjuk a>b. Mivel CE_a=CE_b=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,

Ezért az F_aE_aK és F_bE_bK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen E_aK=E_bK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180^o- szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az F_aF_b szakasz is ekkora szög alatt látszik, az F_aF_b egyenes másik oldalára eső C pontból viszont szög alatt. Ezért az F_a,C,F_b és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.

Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:	56 students.
1 point:	2 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007