KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4006. (May 2007)

B. 4006. a, b, c are the sides of a triangle, such that a+b=2c. Prove that the centres of the inscribed and circumscribed circles are concyclic with the midpoints of the sides a and b.

(4 pont)

Deadline expired on 15 June 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját Fa,Fb, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az Ea,Eb pontokban. Mivel a CO szakasz az Fa és Fb pontokból is 90o-os szög alatt látszik, az Fa,C,Fb és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az Ea,C,Eb és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az EaEb egyenes elválasztja a C és K pontokat, az EaKEb szög a háromszög C-nél lévő \gamma szögét 180o-ra egészíti ki.

Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy a\neb, mondjuk a>b. Mivel CEa=CEb=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,

F_aE_a=CF_a-CE_a=\frac{a-b}{4}=CE_b-CF_b=E_bF_b.

Ezért az FaEaK és FbEbK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen EaK=EbK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180o-\gamma szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az FaFb szakasz is ekkora szög alatt látszik, az FaFb egyenes másik oldalára eső C pontból viszont \gamma szög alatt. Ezért az Fa,C,Fb és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.


Statistics:

63 students sent a solution.
4 points:56 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley