KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4006. a, b, c are the sides of a triangle, such that a+b=2c. Prove that the centres of the inscribed and circumscribed circles are concyclic with the midpoints of the sides a and b.

(4 points)

Deadline expired on 15 June 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az a és b oldalak közös csúcsát jelölje C, a beírt, illetve a körülírt kör középpontját K, illetve O, az a,b oldalak felezőpontját Fa,Fb, a beírt kör pedig érintse ugyanezeket az oldalakat az Ea,Eb pontokban. Mivel a CO szakasz az Fa és Fb pontokból is 90o-os szög alatt látszik, az Fa,C,Fb és O pontok egy k körön helyezkednek el. Hasonló okból az Ea,C,Eb és K pontok is egy körön helyezkednek el. Mivel az EaEb egyenes elválasztja a C és K pontokat, az EaKEb szög a háromszög C-nél lévő \gamma szögét 180o-ra egészíti ki.

Ha a=b, akkor K=O, vagyis négy pont valóban egy körön helyezkedik el. Tegyük fel, hogy a\neb, mondjuk a>b. Mivel CEa=CEb=s-c=(a+b-c)/2=c/2=(a+b)/4,

F_aE_a=CF_a-CE_a=\frac{a-b}{4}=CE_b-CF_b=E_bF_b.

Ezért az FaEaK és FbEbK derékszögű háromszögek egybevágók, hiszen EaK=EbK a beírt kör sugara. A két háromszöget tehát K körül 180o-\gamma szögű elforgatás viszi egymásba, amiért is a K pontból az FaFb szakasz is ekkora szög alatt látszik, az FaFb egyenes másik oldalára eső C pontból viszont \gamma szög alatt. Ezért az Fa,C,Fb és K pontok is egy körön helyezkednek el, vagyis K illeszkedik a k körre.


Statistics on problem B. 4006.
63 students sent a solution.
4 points:56 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley