KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4007. (May 2007)

B. 4007. Let A, B, C, D denote four distinct points in the space. The line segment PQ is ``moved'' from AB to DC so that in each time instant P divides the line segment AD in the same ratio as Q divides BC. Then the line segment PQ sweeps out a surface. Prove that the same surface will be obtained if a line segment RS is moved in the same way from AD to BC.

(4 pont)

Deadline expired on 15 June 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a 4 pont helyvektora a,b,c,d. Ha valamilyen 0\lex\le1 esetén a P=Px pont az AD szakaszt x:(1-x) arányban osztja, akkor ennek helyvektora px=(1-x)a+xd, és ugyanakkor a Q=Qx pont helyvektora qx=(1-x)b+xc. A PxQx szakaszt y:(1-y) arányban osztó Zx,y pont helyvektora tehát

zx,y=(1-y)px+yqx=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

vagyis így írhatók le az első felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Hasonlóképpen az AB szakaszt y:(1-y) arányban osztó R=Ry és a DC szakaszt szintén y:(1-y) arányban osztó S=Sy pontok helyvektora rendre ry=(1-y)a+yb és sy=(1-y)d+yc, vagyis az RySy szakaszt x:(1-x) arányban osztó Wy,x pont helyvektora

wy,x=(1-x)ry+xsy=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

így írhatók le a második felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke szintén 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Mivel minden 0\lex,y\le1 esetén zx,y=wy,x, valóban ugyanazok a pontok lesznek rajta mind a két felületen.


Statistics:

32 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Lovas Lia Izabella, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton.
3 points:Bodor Bertalan, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley