KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4009. The angle bisectors drawn from the vertices A and B of a triangle ABC intersect the opposite sides at A1 and B1, respectively. P is the intersection of the ray A1B1 with the circumscribed circle of the triangle. Prove that


\frac{1}{PA} = \frac{1}{PB} + \frac{1}{PC}.

(5 points)

Deadline expired on 15 June 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Írjuk át a bizonyítandó állítást PB.PC=PA.PC+PA.PB alakba. A szokásos jelölések mellett jelölje R a körülírt kör sugarát, tXYZ az XYZ háromszög területét. Legyen továbbá t=tABC és q=PB1/A1B1, ekkor PA1/A1B1=1+q. A szögfelező-tételt felhasználva

\frac{t_{PBC}}{t}=\frac{t_{PBC}}{t_{B_1BC}}\cdot
\frac{t_{B_1BC}}{t}=\frac{PA_1}{A_1B_1}\cdot
\frac{B_1C}{AC}=(1+q)\frac{a}{a+c},

ezért

PB\cdot PC=\frac{2t_{PBC}}{\sin\alpha}=\frac{4Rt_{PBC}}{a}=
\frac{4Rt(1+q)}{a+c}.

Hasonlóképpen kapjuk, hogy

PA\cdot PC=\frac{4Rt_{PAC}}{b}=\frac{4Rqt_{A_1AC}}{b}=
\frac{4Rtq}{b}\cdot\frac{A_1C}{BC}=\frac{4Rtq}{b+c}.

A PAB háromszög területének meghatározásához jelölje az X pontnak az AB egyenestől vett távolságást mX, és legyen m=mC. Ekkor

m_{A_1}=\frac{A_1B}{BC}\cdot m_C=\frac{cm}{b+c}\quad\hbox{\rm és}\quad
m_{B_1}=\frac{B_1A}{AC}\cdot m_C=\frac{cm}{a+c}.

Ezért az ábráról leolvasható hasonlóságok alapján (az ábra az a>b esetet szemlélteti) mB1-mP=q(mA1-mB1), ahonnan

m_P=m_{B_1}-q(m_{A_1}-m_{B_1})=\frac{cm}{(a+c)(b+c)}\bigl(b+c-q(a-b)\bigr).

Következésképpen

PA\cdot PB=\frac{4Rt_{PAB}}{c}=\frac{4Rt}{c}\cdot\frac{m_P}{m}=
\frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}\bigl(b+c-q(a-b)\bigr),

tehát

PA\cdot PC+PA\cdot PB=\frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}\bigl(q(a+c)+(b+c)-q(a-b)\bigr)=

=\frac{4Rt}{(a+c)(b+c)}(1+q)(b+c)=PB\cdot PC.


Statistics on problem B. 4009.
8 students sent a solution.
5 points:Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Fonyó Dávid, Honner Balázs, Tossenberger Anna, Wolosz János.
4 points:Cseh Ágnes, Réti Dávid.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, May 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley