KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4013. Is it possible to colour the positive rational numbers in red and blue so that

(a) the sum of red numbers is red and the sum of blue numbers is blue;

(b) the product of red numbers is red and the product of blue numbers is blue?

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az első kérdésre a válasz tagadó. Ha az r szám piros, akkor 2r=r+r is az kell hogy legyen, és n szerinti teljes indukcióval látszik, hogy minden n pozitív egészre nr piros kell legyen. Ha pedig az r szám kék, akkor minden egész számú többszöröse szintén kék. Ha lenne egy p=a/b piros és egy k=c/d kék szám, ahol a,b,c,d pozitív egész, akkor emiatt az ac=(bc)p számnak egyrészt pirosnak, másrészt ac=(ad)k miatt kéknek kellene lennie, ami ellentmondás.

A második kérdésre igenlő választ ad a következő konstrukció. Ha az r racionális szám egyszerűsített alakjában a számláló páratlan, akkor legyen r piros, ellenkező esetben pedig kék. Két piros szám szorzatában egyszerűsítés után a számláló osztója lesz az eredeti számlálók szorzatának, tehát páratlan lesz, így a szorzat is piros lesz. Két kék szám szorzatában viszont a számláló biztos, hogy páros lesz, hiszen még az is igaz, hogy 4-gyel osztható lesz.


Statistics on problem B. 4013.
209 students sent a solution.
4 points:78 students.
3 points:16 students.
2 points:59 students.
1 point:8 students.
0 point:38 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program  
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley