KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4013. Is it possible to colour the positive rational numbers in red and blue so that

(a) the sum of red numbers is red and the sum of blue numbers is blue;

(b) the product of red numbers is red and the product of blue numbers is blue?

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az első kérdésre a válasz tagadó. Ha az r szám piros, akkor 2r=r+r is az kell hogy legyen, és n szerinti teljes indukcióval látszik, hogy minden n pozitív egészre nr piros kell legyen. Ha pedig az r szám kék, akkor minden egész számú többszöröse szintén kék. Ha lenne egy p=a/b piros és egy k=c/d kék szám, ahol a,b,c,d pozitív egész, akkor emiatt az ac=(bc)p számnak egyrészt pirosnak, másrészt ac=(ad)k miatt kéknek kellene lennie, ami ellentmondás.

A második kérdésre igenlő választ ad a következő konstrukció. Ha az r racionális szám egyszerűsített alakjában a számláló páratlan, akkor legyen r piros, ellenkező esetben pedig kék. Két piros szám szorzatában egyszerűsítés után a számláló osztója lesz az eredeti számlálók szorzatának, tehát páratlan lesz, így a szorzat is piros lesz. Két kék szám szorzatában viszont a számláló biztos, hogy páros lesz, hiszen még az is igaz, hogy 4-gyel osztható lesz.


Statistics on problem B. 4013.
209 students sent a solution.
4 points:78 students.
3 points:16 students.
2 points:59 students.
1 point:8 students.
0 point:38 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program