KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4013. (September 2007)

B. 4013. Is it possible to colour the positive rational numbers in red and blue so that

(a) the sum of red numbers is red and the sum of blue numbers is blue;

(b) the product of red numbers is red and the product of blue numbers is blue?

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az első kérdésre a válasz tagadó. Ha az r szám piros, akkor 2r=r+r is az kell hogy legyen, és n szerinti teljes indukcióval látszik, hogy minden n pozitív egészre nr piros kell legyen. Ha pedig az r szám kék, akkor minden egész számú többszöröse szintén kék. Ha lenne egy p=a/b piros és egy k=c/d kék szám, ahol a,b,c,d pozitív egész, akkor emiatt az ac=(bc)p számnak egyrészt pirosnak, másrészt ac=(ad)k miatt kéknek kellene lennie, ami ellentmondás.

A második kérdésre igenlő választ ad a következő konstrukció. Ha az r racionális szám egyszerűsített alakjában a számláló páratlan, akkor legyen r piros, ellenkező esetben pedig kék. Két piros szám szorzatában egyszerűsítés után a számláló osztója lesz az eredeti számlálók szorzatának, tehát páratlan lesz, így a szorzat is piros lesz. Két kék szám szorzatában viszont a számláló biztos, hogy páros lesz, hiszen még az is igaz, hogy 4-gyel osztható lesz.


Statistics:

209 students sent a solution.
4 points:78 students.
3 points:16 students.
2 points:59 students.
1 point:8 students.
0 point:38 students.
Unfair, not evaluated:10 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley