B. 4013. Is it possible to colour the positive rational numbers in red and blue so that

(a) the sum of red numbers is red and the sum of blue numbers is blue;

(b) the product of red numbers is red and the product of blue numbers is blue?

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Az első kérdésre a válasz tagadó. Ha az r szám piros, akkor 2r=r+r is az kell hogy legyen, és n szerinti teljes indukcióval látszik, hogy minden n pozitív egészre nr piros kell legyen. Ha pedig az r szám kék, akkor minden egész számú többszöröse szintén kék. Ha lenne egy p=a/b piros és egy k=c/d kék szám, ahol a,b,c,d pozitív egész, akkor emiatt az ac=(bc)p számnak egyrészt pirosnak, másrészt ac=(ad)k miatt kéknek kellene lennie, ami ellentmondás.

A második kérdésre igenlő választ ad a következő konstrukció. Ha az r racionális szám egyszerűsített alakjában a számláló páratlan, akkor legyen r piros, ellenkező esetben pedig kék. Két piros szám szorzatában egyszerűsítés után a számláló osztója lesz az eredeti számlálók szorzatának, tehát páratlan lesz, így a szorzat is piros lesz. Két kék szám szorzatában viszont a számláló biztos, hogy páros lesz, hiszen még az is igaz, hogy 4-gyel osztható lesz.

Statistics on problem B. 4013. 209 students sent a solution. 4 points: 78 students. 3 points: 16 students. 2 points: 59 students. 1 point: 8 students. 0 point: 38 students. Unfair, not evaluated: 10 solutions.