Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4014. (September 2007)

B. 4014. A', B' and C', respectively, are the reflections of the vertices of a triangle ABC about the centre of the circumscribed circle. Prove that the sum of the areas of the triangles A'BC, AB'C, and ABC' equals the area of the triangle ABC.

(3 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, ekkor a BM egyenes merőleges az AC egyenesre. Mivel AA' a körülírt kör egy átmérője, Thalesz tétele miatt az A'C egyenes is merőleges AC-re, vagyis A'C párhuzamos BM-mel. Ugyanígy kapjuk, hogy A'B párhuzamos CM-mel. Ezért az A'BMC négyszög egy paralelogramma, melyet a BC átlója két egybevágó háromszögre, a BMC és a CA'B háromszögekre bont fel. Ezek területe tehát egyenlő.

Szimmetria okok miatt az AMB és CMA háromszögek területe is rendre megegyezik a BC'A, illetve az AB'C háromszögek területével. A szóban forgó háromszögek területének összege tehát megegyezik az AMB, BMC és CMA háromszögek területének összegével. Ez utóbbi viszont nyilván egyenlő az ABC háromszög területével.


Statistics:

218 students sent a solution.
3 points:181 students.
2 points:16 students.
1 point:14 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007