KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4015. The diagonals of a convex quadrilateral enclose an angle of 45o. Drop a perpendicular from each vertex of the quadrilateral onto the line of the diagonal connecting the two adjacent vertices. Find the ratio of the area of the quadrilateral formed by the feet of the perpendiculars to the area of the original quadrilateral.

(Suggested by J. Bodnár, Budapest)

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen az átlók metszéspontja O, a négyszög csúcsai valamilyen körüljárás szerint A,B,C,D. A jelölést válasszuk úgy, hogy az AOB szög 45o-os legyen. A merőlegesek talppontjait jelölje értelemszerűen A',B',C',D'. Ezek a pontok rendre az OB,OA,OD,OC félegyeneseken helyezkednek el úgy, hogy minden esetben OX'=OX/\sqrt{2}.

Mindkét négyszöget az átlói négy kis háromszögre bontanak fel, melyek páronként hasonlók egymáshoz. Nevezetesen, ha X és Y nem átellenes csúcsok, akkor az X'OY' háromszög hasonló az XOY háromszöghöz, a hasonlóság aránya 1/\sqrt{2}, tehát az előbbi háromszög területe fele az utóbbiénak. Mindezek alapján az A'B'C'D' négyszög területe is feleakkora, mint az ABCD négyszögé.


Statistics on problem B. 4015.
161 students sent a solution.
3 points:98 students.
2 points:28 students.
1 point:23 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program