KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4015. (September 2007)

B. 4015. The diagonals of a convex quadrilateral enclose an angle of 45o. Drop a perpendicular from each vertex of the quadrilateral onto the line of the diagonal connecting the two adjacent vertices. Find the ratio of the area of the quadrilateral formed by the feet of the perpendiculars to the area of the original quadrilateral.

(Suggested by J. Bodnár, Budapest)

(3 pont)

Deadline expired on 15 October 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen az átlók metszéspontja O, a négyszög csúcsai valamilyen körüljárás szerint A,B,C,D. A jelölést válasszuk úgy, hogy az AOB szög 45o-os legyen. A merőlegesek talppontjait jelölje értelemszerűen A',B',C',D'. Ezek a pontok rendre az OB,OA,OD,OC félegyeneseken helyezkednek el úgy, hogy minden esetben OX'=OX/\sqrt{2}.

Mindkét négyszöget az átlói négy kis háromszögre bontanak fel, melyek páronként hasonlók egymáshoz. Nevezetesen, ha X és Y nem átellenes csúcsok, akkor az X'OY' háromszög hasonló az XOY háromszöghöz, a hasonlóság aránya 1/\sqrt{2}, tehát az előbbi háromszög területe fele az utóbbiénak. Mindezek alapján az A'B'C'D' négyszög területe is feleakkora, mint az ABCD négyszögé.


Statistics:

161 students sent a solution.
3 points:98 students.
2 points:28 students.
1 point:23 students.
0 point:11 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley