KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4017. The circle k2 touches the circle k1 on the inside at point A. The tangent drawn to circle k2 at a point D different from A intersects the circle k1 at the points B and C. Prove that AD bisects the angle BAC.

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: A k1 kör középpontját jelölje O, a k2-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát

CAO\angle=OCA\angle=\alpha,\ BCO\angle=OBC\angle=\beta,
\ ABO\angle=OAB\angle=\gamma

és ADK\angle=KAD\angle=\delta. Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az \alpha szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180o, vagyis

(\gamma-\delta)+(90o-\delta)+(\beta+\gamma)=(\alpha+\delta)+(90o+\delta)+(\alpha+\beta).

Innen 2\gamma-2\delta=2\alpha+2\delta, tehát DAB\angle=\gamma-\delta=\alpha+\delta=CAD\angle, amint azt bizonyítani kellett.


Statistics on problem B. 4017.
157 students sent a solution.
4 points:132 students.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley