KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4017. (September 2007)

B. 4017. The circle k2 touches the circle k1 on the inside at point A. The tangent drawn to circle k2 at a point D different from A intersects the circle k1 at the points B and C. Prove that AD bisects the angle BAC.

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A k1 kör középpontját jelölje O, a k2-ét K, ekkor az A,K,O pontok egy egyenesre esnek. Ha a D pont is erre az egyenesre illeszkedik, akkor az állítás nyilvánvaló. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük hát, hogy D közelebb van B-hez, mint C-hez. Az OAC, OCB, OBA és KDA háromszögek egyenlőszárúak. Legyen tehát

CAO\angle=OCA\angle=\alpha,\ BCO\angle=OBC\angle=\beta,
\ ABO\angle=OAB\angle=\gamma

és ADK\angle=KAD\angle=\delta. Irányított szögekkel számolunk, tehát ha C az AO egyenesnek ugyanarra az oldalára esik, mint B, akkor az \alpha szög negatív. Tudjuk még, hogy a BDK és KDC szög is derékszög. Az ADB és az ADC háromszög szögeinek összege is 180o, vagyis

(\gamma-\delta)+(90o-\delta)+(\beta+\gamma)=(\alpha+\delta)+(90o+\delta)+(\alpha+\beta).

Innen 2\gamma-2\delta=2\alpha+2\delta, tehát DAB\angle=\gamma-\delta=\alpha+\delta=CAD\angle, amint azt bizonyítani kellett.


Statistics:

157 students sent a solution.
4 points:132 students.
3 points:11 students.
2 points:4 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley