KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4018. (September 2007)

B. 4018. P is a given point on the tangent drawn at point B of a circle of diameter AB. The point of tangency of the other tangent from P is C. T is the orthogonal projection of C on the line AB. Prove that AP bisects the line segment CT.

(4 pont)

Deadline expired on 15 October 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a kör középpontja O, a C pontnak a BP egyenesre eső vetülete S, az AP és CT szakaszok metszéspontja pedig legyen Q. Az egyszerűség kedvéért vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melynek középpontja O, a B pont koordinátái B(1;0), a P(1;p) pont második koordinátája pedig pozitív. A többi pont koordinátái ekkor A(-1;0), T(t;0), Q(t;q), C(t;c) és S(1;c) lesznek alkalmas t,q,c számokkal. Azt kell belátnunk, hogy q=c/2. Itt q,c>0, t pedig attól függően lesz pozitív, nagatív, vagy 0, hogy p értéke 0 és 1 közé esik, 1-nél nagyobb, vagy pedig 1-gyel egyenlő. A kör egyenlete x2+y2=1, tehát t2+c2=1.

A CTO (t=0 esetén elfajuló) derékszögű háromszöget mindhárom esetben C körüli 90o-os forgatva nyújtás viszi a CSP háromszögbe, a megfelelő oldalak arányára tehát t:c=(c-p):(1-t) írható fel, ahonnan t-t2=c2-cp, cp=t2+c2-t=1-t adódik. Az ATC és ABP derékszögű háromszögek hasonlóságából pedig a q:(1+t)=p:2 arányosságot kapjuk, ahonnan

q=\frac{(1+t)p}{2}=\frac{(1+t)(1-t)}{2c}=\frac{1-t^2}{2c}=\frac{c^2}{2c}
=\frac{c}{2}\ ,

amint azt bizonyítanunk kellett.


Statistics:

114 students sent a solution.
4 points:71 students.
3 points:18 students.
2 points:11 students.
1 point:5 students.
0 point:9 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley