Problem B. 4021. (September 2007)
B. 4021. Prove that if each of the numbers a1,a2,...,an is at least 1, then
(a1+1)(a2+1).....(an+1)2n-1(a1+a2+...+an-n+2).
(4 pont)
Deadline expired on October 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Legyen xi=ai-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2n tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik xi-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2n-nel, további n tag pedig a 2n-1xi számokkal () egyenlő. Ezért
ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.
Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az ai számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.
Statistics:
139 students sent a solution. 4 points: 94 students. 3 points: 19 students. 2 points: 7 students. 1 point: 12 students. 0 point: 7 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007