Problem B. 4021.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4021. Prove that if each of the numbers a₁,a₂,...,a_n is at least 1, then

(a₁+1)(a₂+1)^....^.(a_n+1) $\ge$ 2^n-1(a₁+a₂+...+a_n-n+2).

(4 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Legyen x_i=a_i-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés $(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)$ alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2ⁿ tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik x_i-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2ⁿ-nel, további n tag pedig a 2^n-1x_i számokkal ( $i=1,2,\ldots,n$ ) egyenlő. Ezért

$(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)\ge 2^n+2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n)= 2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n+2),$

ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.

Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n $\ge$ 2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az a_i számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.

Statistics on problem B. 4021.

139 students sent a solution.

4 points: 94 students.

3 points: 19 students.

2 points: 7 students.

1 point: 12 students.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

Our web pages are supported by:

ELTE