Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4021. (September 2007)

B. 4021. Prove that if each of the numbers a1,a2,...,an is at least 1, then

(a1+1)(a2+1).....(an+1)\ge2n-1(a1+a2+...+an-n+2).

(4 pont)

Deadline expired on October 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen xi=ai-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés (2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n) alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2n tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik xi-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2n-nel, további n tag pedig a 2n-1xi számokkal (i=1,2,\ldots,n) egyenlő. Ezért

(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)\ge 2^n+2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n)=
2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n+2),

ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.

Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n\ge2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az ai számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.


Statistics:

139 students sent a solution.
4 points:94 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007