KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4021. Prove that if each of the numbers a1,a2,...,an is at least 1, then

(a1+1)(a2+1).....(an+1)\ge2n-1(a1+a2+...+an-n+2).

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen xi=ai-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés (2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n) alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2n tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik xi-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2n-nel, további n tag pedig a 2n-1xi számokkal (i=1,2,\ldots,n) egyenlő. Ezért

(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)\ge 2^n+2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n)=
2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n+2),

ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.

Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n\ge2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az ai számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.


Statistics on problem B. 4021.
139 students sent a solution.
4 points:94 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   Nemzeti TehetsĂ©g Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE