KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4021. Prove that if each of the numbers a1,a2,...,an is at least 1, then

(a1+1)(a2+1).....(an+1)\ge2n-1(a1+a2+...+an-n+2).

(4 points)

Deadline expired on 15 October 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen xi=ai-1. Ezen nemnegatív számok segítségével a baloldalon álló kifejezés (2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n) alakba írható. Ha ezt a szorzatot kifejtjük, akkor egy olyan összeget kapunk, amelynek 2n tagja van. Minden egyes tag egy n-tényezős szorzat, ahol a tényezők mindegyike vagy 2-vel, vagy valamelyik xi-vel egyenlő. Az összeg egyik tagja sem negatív tehát, továbbá a tagok közül az egyik 2n-nel, további n tag pedig a 2n-1xi számokkal (i=1,2,\ldots,n) egyenlő. Ezért

(2+x_1)(2+x_2)\ldots(2+x_n)\ge 2^n+2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n)=
2^{n-1}(x_1+x_2+\ldots+x_n+2),

ami viszont éppen az egyenlőtlenség jobboldalán álló mennyiség. Ezzel az állítást igazoltuk.

Ha n=1, akkor a baloldali kifejezésnek az összes tagját figyelembe vettük, n\ge2 esetén pedig a kétszeres szorzatokat is tekintetbe véve könnyen megállapítható, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha az ai számok közül legfeljebb egy nagyobb 1-nél.


Statistics on problem B. 4021.
139 students sent a solution.
4 points:94 students.
3 points:19 students.
2 points:7 students.
1 point:12 students.
0 point:7 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley