KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4022. (October 2007)

B. 4022. Is there a base of notation of numbers in which the rule for divisibility by 9 is the same as the rule for divisibility by 4 in decimal notation, the rule for divisibility by 4 is the same as the rule for divisibility by 9 in decimal notation, and divisibility by 7 can be decided by simply looking at the last digit?

(4 pont)

Deadline expired on 15 November 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a számrendszer alapszáma d. Ha a 7-tel való oszthatóság csak az utolsó számjegy alapján eldönthető, akkor tekintsünk egy legalább kétjegyű 7-tel osztható n számot. Ha n utolsó előtti jegye 0, akkor cseréljük ki 1-re, ha nem 0, akkor vonjunk ki belőle 1-et. Az így kapott n' szám szintén osztható kell legyen 7-tel. Mivel n'=n\pmd, a két szám különbsége, d is osztható kell legyen 7-tel. Megfordítva, ha d osztható 7-tel, akkor nyilván minden 0-ra végződő szám osztható 7-tel, ezért egy szám pontosan akkor lesz 7-tel osztható, ha az utolsó számjegye osztható 7-tel. Az utolsó feltétel tehát pontosan akkor teljesül, ha 7\mid d.

Az első feltétel azt jelenti, hogy egy szám pontosan akkor osztható 9-cel, ha az utolsó két számjegyéből alkotott 'szám' (amely tehát 0-val is kezdődhet, sőt 00 is lehet) osztható 9-cel, de az utolsó számjegy alapján az oszthatóságot még nem lehet eldönteni. Ha ez teljesül, akkor az előző érvelés mutatja, hogy d nem osztható 9-cel. Megmutatjuk, hogy d szükségképpen osztható 3-mal. Tekintsünk egy legalább 3 jegyből álló 9-cel osztható n számot. Ha a d2-es helyiértéken álló számjegy 0, akkor írjunk helyébe 1-et, ellenkező esetben vonjunk ki belőle 1-et. A szabály értelmében az így kapott n' szám is osztható kell legyen 9-cel. A két szám különbsége most d2, ami pontosan akkor osztható 9-cel, ha d osztható 3-mal. Megfordítva, ha d osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, akkor az utolsó számjegy alapján a 9-cel való oszthatóságot még nem lehet eldönteni, viszont minden 00-ra végződő szám osztható lesz 32=9-cel, tehát egy szám pontosan akkor lesz osztható 9-cel, ha a fent megfogalmazott szabály teljesül. Az első feltétel tehát azzal ekvivalens, hogy 3\mid d, de 9\nmid d.

Végül a második feltétel azt jelenti, hogy egy szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha számjegyeinek összege osztható 4-gyel. Ha ez teljesül, akkor d>2, ezért van olyan n kétjegyű 4-gyel osztható szám, amelynek első jegye nem d-1. Ha a második jegy 0, akkor írjunk helyébe 1-et, az első számjegyet pedig csökkentsük 1-gyel (ha így az első számjegy 0 lenne, akkor elhagyjuk). Ha a második jegy nem 0, akkor csökkentsük 1-gyel, az első számjegyet pedig növeljük 1-gyel. Így a számjegyek összege változatlan marad, tehát az új szám, n'=n\pm(d-1) is osztható 4-gyel. Ezért szükségképpen 4\mid
d-1. Megfordítva, ha d 4-gyel osztva 1 maradékot ad, akkor d minden hatványa is 1 maradékot ad 4-gyel osztva, ezért az \overline{a_ka_{k-1}\ldots a_1a_0}_d szám ugyanolyan maradékot ad 4-gyel osztva, mint ak+ak-1+...+a1+a0. A második feltétel tehát pontosan akkor teljesül, ha 4\mid d-1.

Mivel a d=21 szám mindhárom feltételnek eleget tesz, található ilyen számrendszer, sőt minden 252k+21 alapú számrendszer megfelelő lesz.


Statistics:

>
243 students sent a solution.
4 points:129 students.
3 points:84 students.
2 points:19 students.
1 point:4 students.
0 point:2 students.
Unfair, not evaluated:5 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley