KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4026. (October 2007)

B. 4026. The length of the common chord of two circles of diameters d1 and d2 is h. A line drawn through one of the intersections cuts the circles at the points C1 and C2, and the points D1 and D2, respectively, as shown in the Figure. Prove that the line C1D1 is only perpendicular to C2D2 if \frac{1}{h^2} = \frac{1}{d_1^2} +
\frac{1}{d_2^2}.

(4 pont)

Deadline expired on November 15, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az egyenesek metszéspontját jelölje A, a két kör másik metszéspontját B. A két egyenes hajlásszöge legyen \alpha, ekkor a kerületi szögek tétele miatt

D1BC1\angle=D1AC1\angle=\alpha=D2AC2\angle=D2BC2\angle.

Ugyancsak a kerületi szögek tétele miatt

D_2C_2A\angle=D_2BA\angle=\beta\qquad\hbox{\rm \'es}\qquad
C_1D_1A\angle=C_1BA\angle=\gamma.

A B pontból a C1C2 és a D1D2 szakasz is ugyanakkora szög alatt látszik, ez a szög, melynek nagysága \alpha+\beta+\gamma tehát független a két egyenes helyzetétől. Az MD2D1 szög nagysága \alpha+\beta, tehát a D1D2M háromszögből számolva a D1MD2 szög nagyságára 180o-(\alpha+\beta+\gamma) adódik. Ez tehát pontosan akkor derékszög, ha a B pontból a D1D2 szakasz derékszög alatt látszik.

A fentiek miatt a két feltétel ekvivalenciájának vizsgálatánál feltehetjük, hogy a D1D2 szakasz merőleges AB-re, ekkor AB=h, D1B=d1 és D2B=d2. Az ezekre vonatkozó feltételt tehát így alakíthatjuk át:

\frac{h^2}{d_1^2}+\frac{h^2}{d_2^2}=1\ \Leftrightarrow
\frac{AB^2}{D_1B^2}=1-\frac{AB^2}{D_2B^2}=\frac{D_2B^2-AB^2}{D_2B^2}=
\frac{AD_2^2}{BD_2^2}\ \Leftrightarrow \frac{AB}{D_1B}=\frac{AD_2}{BD_2}.

Ez pontosan azt jelenti, hogy a D1AB és BAD2 derékszögű háromszögek hasonlók, vagyis hogy az ABD2 szög az ABD1 szöget 90o-ra egészíti ki, ami, mint láttuk, ekvivalens azzal, hogy a C1D1 egyenes merőleges a C2D2 egyenesre.


Statistics:

47 students sent a solution.
4 points:Balla Attila, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Botos Csongor, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Gyurcsik Judit, Hursán Zsófia, Marák Károly, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Pasztuhov Anna, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Rácz Tamás, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
3 points:Bartha Zsolt, Csányi János Dániel, Farkas Márton, Kalina Kende, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Márkus Bence, Pap Bálint, Piller Éva, Somogyi Ákos, Szórádi Márk, Szőke Nóra, Törcsvári Gergő.
2 points:6 students.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley