Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4026. feladat (2007. október)

B. 4026. A d1 és d2 átmérőjű körök közös húrjának hossza h. Az egyik metszésponton át húzott két egyenes a köröket rendre a C1 és C2, illetve a D1 és D2 pontokban metszi az ábrán látható módon. Bizonyítsuk be, hogy a C1D1 egyenes pontosan akkor merőleges C2D2-re, ha


\frac{1}{h^2} = \frac{1}{d_1^2} + \frac{1}{d_2^2}.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. november 15-én LEJÁRT.


Megoldás: Az egyenesek metszéspontját jelölje A, a két kör másik metszéspontját B. A két egyenes hajlásszöge legyen \alpha, ekkor a kerületi szögek tétele miatt

D1BC1\angle=D1AC1\angle=\alpha=D2AC2\angle=D2BC2\angle.

Ugyancsak a kerületi szögek tétele miatt

D_2C_2A\angle=D_2BA\angle=\beta\qquad\hbox{\rm \'es}\qquad
C_1D_1A\angle=C_1BA\angle=\gamma.

A B pontból a C1C2 és a D1D2 szakasz is ugyanakkora szög alatt látszik, ez a szög, melynek nagysága \alpha+\beta+\gamma tehát független a két egyenes helyzetétől. Az MD2D1 szög nagysága \alpha+\beta, tehát a D1D2M háromszögből számolva a D1MD2 szög nagyságára 180o-(\alpha+\beta+\gamma) adódik. Ez tehát pontosan akkor derékszög, ha a B pontból a D1D2 szakasz derékszög alatt látszik.

A fentiek miatt a két feltétel ekvivalenciájának vizsgálatánál feltehetjük, hogy a D1D2 szakasz merőleges AB-re, ekkor AB=h, D1B=d1 és D2B=d2. Az ezekre vonatkozó feltételt tehát így alakíthatjuk át:

\frac{h^2}{d_1^2}+\frac{h^2}{d_2^2}=1\ \Leftrightarrow
\frac{AB^2}{D_1B^2}=1-\frac{AB^2}{D_2B^2}=\frac{D_2B^2-AB^2}{D_2B^2}=
\frac{AD_2^2}{BD_2^2}\ \Leftrightarrow \frac{AB}{D_1B}=\frac{AD_2}{BD_2}.

Ez pontosan azt jelenti, hogy a D1AB és BAD2 derékszögű háromszögek hasonlók, vagyis hogy az ABD2 szög az ABD1 szöget 90o-ra egészíti ki, ami, mint láttuk, ekvivalens azzal, hogy a C1D1 egyenes merőleges a C2D2 egyenesre.


Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Balla Attila, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Botos Csongor, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Gyurcsik Judit, Hursán Zsófia, Marák Károly, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Pasztuhov Anna, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Rácz Tamás, Strenner Péter, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
3 pontot kapott:Bartha Zsolt, Csányi János Dániel, Farkas Márton, Kalina Kende, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Márkus Bence, Pap Bálint, Piller Éva, Somogyi Ákos, Szórádi Márk, Szőke Nóra, Törcsvári Gergő.
2 pontot kapott:6 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2007. októberi matematika feladatai