KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4027. Solve the following equation:


\frac{x^2 + 1}{x^2 + 11} = \frac{1}{6}\sqrt{\frac{11x - 6}{6-x}}.

(4 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Ha x=1, akkor mindkét oldal értéke 1/6, x=2 esetén 1/3, x=3 esetén pedig 1/2. Ez a három szám tehát megoldása az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül más megoldás nincs. Ha az x valós szám kielégíti az egyenletet, akkor megoldása a négyzetreemelés és a nevezőkkel történő beszorzás után kapott

36(6-x)(x2+1)2=(11x-6)(x2+11)2

egyenletnek is. A szorzásokat elvégezve, rendezés után a

p(x)=47x5-222x4+314x3-564x2+1367x-942=0

ötödfokú egyenletet kapjuk. Mivel ennek x=1 megoldása, p(x)-ből az x-1 gyöktényezőt kiemelhetjük:

p(x)=(x-1)(47x4-175x3+139x2-425x+942).

Ha tehát x\ne1, akkor

q(x)=47x4-175x3+139x2-425x+942=0.

Mivel ennek az egyenletnek x=2 és x=3 is megoldása, az x-2 és x-3 gyöktényezőket is kiemelhetjük:

q(x)=(x-2)(47x3-81x2-23x-471)=(x-2)(x-3)(47x2+60x+157).

Így ha x sem 1-gyel, sem 2-vel, sem pedig 3-mal nem egyenlő, akkor 47x2+60x+157=0. Ennek a másodfokú egyenleteknek viszont nincs megoldása, hiszen diszkriminánsa, 602-4.47.157 negatív.


Statistics on problem B. 4027.
196 students sent a solution.
4 points:122 students.
3 points:44 students.
2 points:11 students.
1 point:11 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley