Problem B. 4027. (October 2007)
B. 4027. Solve the following equation:
(4 pont)
Deadline expired on November 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Ha x=1, akkor mindkét oldal értéke 1/6, x=2 esetén 1/3, x=3 esetén pedig 1/2. Ez a három szám tehát megoldása az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül más megoldás nincs. Ha az x valós szám kielégíti az egyenletet, akkor megoldása a négyzetreemelés és a nevezőkkel történő beszorzás után kapott
36(6-x)(x2+1)2=(11x-6)(x2+11)2
egyenletnek is. A szorzásokat elvégezve, rendezés után a
p(x)=47x5-222x4+314x3-564x2+1367x-942=0
ötödfokú egyenletet kapjuk. Mivel ennek x=1 megoldása, p(x)-ből az x-1 gyöktényezőt kiemelhetjük:
p(x)=(x-1)(47x4-175x3+139x2-425x+942).
Ha tehát x1, akkor
q(x)=47x4-175x3+139x2-425x+942=0.
Mivel ennek az egyenletnek x=2 és x=3 is megoldása, az x-2 és x-3 gyöktényezőket is kiemelhetjük:
q(x)=(x-2)(47x3-81x2-23x-471)=(x-2)(x-3)(47x2+60x+157).
Így ha x sem 1-gyel, sem 2-vel, sem pedig 3-mal nem egyenlő, akkor 47x2+60x+157=0. Ennek a másodfokú egyenleteknek viszont nincs megoldása, hiszen diszkriminánsa, 602-4.47.157 negatív.
Statistics:
196 students sent a solution. 4 points: 122 students. 3 points: 44 students. 2 points: 11 students. 1 point: 11 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007