KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4028. (October 2007)

B. 4028. The radii of two spheres are 5 and 3 units, and the distance of the centres is 4 units. Calculate the volume of their intersection.

(3 pont)

Deadline expired on 15 November 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen a két gömb középpontja A, illetve B. A két gömbfelület metszéspontja egy olyan körvonal, amelynek minden P pontja A-tól 5, B-től 3 egység távolságra van. Vagyis Pithagorasz tételének megfordítása értelmében az ABP háromszögben P-nél derékszög van, ezért a körvonal síkja, mely merőleges az AB egyenesre, azt B-ben metszi. Ez a sík a két gömb közös részét két részre vágja. A fentiek miatt az egyik rész egy 3 egység sugarú félgömb, a másik pedig az 5 egység sugarú gömbből levágott 5-4=1 egység magasságú gömbsüveg.

Mivel az R sugarú gömb térfogata 4R3\pi/3, a belőle levágott h magasságú gömbsüvegé pedig h2(3R-h)\pi/3, a keresett térfogat

V=\frac{2\cdot3^3\cdot\pi}{3}+\frac{1^2\cdot 14\cdot \pi}{3}
=\frac{68\pi}{3}.


Statistics:

242 students sent a solution.
3 points:130 students.
2 points:83 students.
1 point:22 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley