KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4030. (October 2007)

B. 4030. AB is a given line segment in the plane. Consider all arbitrary points C for which the triangle ABC is not isosceles. The exterior angle bisector of angle C intersects the line AB at D, and its intersection with the tangent drawn at point A to the circle ADC is P. Determine the locus of all possible points P.

From an Austrian competition problem

(5 pont)

Deadline expired on 15 November 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Megmutatjuk, hogy a P pont mindig az AB szakasz felező merőlegesén helyezkedik el. A bizonyításból az is világosan kiderül majd, hogy a mértani helyhez ennek az egyenesnek minden pontja hozzátartozik az AB szakasz felezőpontjának kivételével, ami nyilván nem lehet megfelelő pont. Mivel a háromszög nem egyenlő szárú, ezért két eset lehetséges.

I. eset: a C pont A-hoz közelebb van, mint B-hez. A háromszög szögeit a szokásos módon jelölve ekkor \alpha>\beta, ACD\angle=90^\circ-\frac{\gamma}{2}, tehát CDA\angle=\alpha+\frac{\gamma}{2}-90^\circ=\delta>0. A kerületi szögek tétele miatt a CAP szög is \delta. Ezért egyrészt a CAP háromszögben CPA\angle=180^\circ-\delta-(90^\circ+\frac{\gamma}{2})= \beta, másrészt PAB\angle=\alpha-\delta=90^\circ-\frac{\gamma}{2}.

A kerületi szögek tételének megfordítása miatt tehát a P pont rajta van az ABC háromszög köré írható kör A-t nem tartalmazó CB ívén. Ebből adódóan az APB szög is \gamma, tehát az ABP szög is 90^\circ-\frac{\gamma}{2}, az ABP háromszög egyenlő szárú, és P valóban az AB szakasz felező merőlegesére esik, ahogy azt állítottuk.

II. eset: a C pont B-hez közelebb van, mint A-hoz. Ekkor az I. esethez hasonlóan gondolkozhatunk, csak a megoldás első felében a számolás kicsit más: ACD\angle=90o+\gamma/2, CDA\angle=180o-(\alpha+90o+\gamma/2)=90o-\alpha-\gamma/2=\delta>0, CAP\angle=CDA\angle=\delta, CPA\angle=180o-\delta-(90o-\gamma/2)=\alpha+\gamma=180o-\beta, PAB\angle=\alpha+\delta=90o-\gamma/2.

A megfordításhoz tekintsük az AB szakasz felező merőlegesének egy tetszőleges olyan Q pontját, amely nem esik az AB szakaszra. Azt kell megmutatnunk, hogy ez a pont hozzátartozik a P pontok mértani helyéhez. Ám ha az ABQ háromszög köré írható kör rövidebbik QA ívén felveszünk egy C pontot úgy, hogy sem CA, sem CB ne legyen egyenlő AB-vel, akkor az elmondottak alapján világos, hogy az ehhez tartozó P pont nem lehet más, mint Q.


Statistics:

48 students sent a solution.
5 points:Dinh Hoangthanh Attila, Horváth 385 Vanda, Márkus Bence, Somogyi Ákos, Szőke Nóra, Tubak Dániel.
4 points:Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Cséke Balázs, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 716 Eszter, Kovács 915 István, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Wang Daqian, Zieger Milán.
3 points:16 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley