KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

 

apehman

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4031. Let n be an integer greater than 1. Prove that the equation


\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots +\frac{x}{1!}+1=0

has no rational solution.

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az a_n
x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0 egyenlettel, ahol an kivételével mindegyik ak=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a főegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xn osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezője, ez tehát x kanonikus alakjában \alpha\ge1 kitevővel szerepel, az a0=n! száméban pedig valamilyen \beta kitevővel. Ha k\ge1, akkor a k! szám alakjában p kitevője,

\gamma_k=\Bigl[\frac{k}{p}\Bigr]+\Bigl[\frac{k}{p^2}\Bigr]+\Bigl[
\frac{k}{p^3}\Bigr]+\ldots,

kisebb mint k, hiszen

\gamma_k=\sum_{i=1}^\infty\Bigl[\frac{k}{p^i}\Bigr]<
\sum_{i=1}^\infty \frac{k}{p^i}\le \sum_{i=1}^\infty
\frac{k}{2^i}=k.

Ezért k\ge1 esetén p kitevője az akxk számban

(\beta-\gammak)+k\alpha\ge\beta-\gammak+k>\beta.

Az a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x_1=-a_0 egyenlőség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.


Statistics on problem B. 4031.
29 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán.
4 points:Cséke Balázs, Somogyi Ákos.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma  
    Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet   Nemzeti Tehetség Program     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley