Problem B. 4031. (October 2007)
B. 4031. Let n be an integer greater than 1. Prove that the equation
has no rational solution.
(5 pont)
Deadline expired on November 15, 2007.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az egyenlettel, ahol an kivételével mindegyik ak=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a főegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xn osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezője, ez tehát x kanonikus alakjában 1 kitevővel szerepel, az a0=n! száméban pedig valamilyen kitevővel. Ha k1, akkor a k! szám alakjában p kitevője,
kisebb mint k, hiszen
Ezért k1 esetén p kitevője az akxk számban
(-k)+k-k+k>.
Az egyenlőség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.
Statistics:
29 students sent a solution. 5 points: Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán. 4 points: Cséke Balázs, Somogyi Ákos. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 point: 5 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007