Problem B. 4031.

Order KöMaL!

ELTE

Competitions Portal

B. 4031. Let n be an integer greater than 1. Prove that the equation

$\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots +\frac{x}{1!}+1=0$

has no rational solution.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az $a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0$ egyenlettel, ahol a_n kivételével mindegyik a_k=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a főegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xⁿ osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezője, ez tehát x kanonikus alakjában $\alpha$ $\ge$ 1 kitevővel szerepel, az a₀=n! száméban pedig valamilyen $\beta$ kitevővel. Ha k $\ge$ 1, akkor a k! szám alakjában p kitevője,

$\gamma_k=\Bigl[\frac{k}{p}\Bigr]+\Bigl[\frac{k}{p^2}\Bigr]+\Bigl[ \frac{k}{p^3}\Bigr]+\ldots,$

kisebb mint k, hiszen

$\gamma_k=\sum_{i=1}^\infty\Bigl[\frac{k}{p^i}\Bigr]< \sum_{i=1}^\infty \frac{k}{p^i}\le \sum_{i=1}^\infty \frac{k}{2^i}=k.$

Ezért k $\ge$ 1 esetén p kitevője az a_kx^k számban

( $\beta$ - $\gamma$ _k)+k $\alpha$ $\ge$ $\beta$ - $\gamma$ _k+k> $\beta$ .

Az $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x_1=-a_0$ egyenlőség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.

Statistics on problem B. 4031.

29 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán.

4 points: Cséke Balázs, Somogyi Ákos.

3 points: 2 students.

2 points: 1 student.

1 point: 5 students.

0 point: 5 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

Our web pages are supported by:

ELTE