KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4031. Let n be an integer greater than 1. Prove that the equation


\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots +\frac{x}{1!}+1=0

has no rational solution.

(5 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az a_n
x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0 egyenlettel, ahol an kivételével mindegyik ak=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a főegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xn osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezője, ez tehát x kanonikus alakjában \alpha\ge1 kitevővel szerepel, az a0=n! száméban pedig valamilyen \beta kitevővel. Ha k\ge1, akkor a k! szám alakjában p kitevője,

\gamma_k=\Bigl[\frac{k}{p}\Bigr]+\Bigl[\frac{k}{p^2}\Bigr]+\Bigl[
\frac{k}{p^3}\Bigr]+\ldots,

kisebb mint k, hiszen

\gamma_k=\sum_{i=1}^\infty\Bigl[\frac{k}{p^i}\Bigr]<
\sum_{i=1}^\infty \frac{k}{p^i}\le \sum_{i=1}^\infty
\frac{k}{2^i}=k.

Ezért k\ge1 esetén p kitevője az akxk számban

(\beta-\gammak)+k\alpha\ge\beta-\gammak+k>\beta.

Az a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x_1=-a_0 egyenlőség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.


Statistics on problem B. 4031.
29 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán.
4 points:Cséke Balázs, Somogyi Ákos.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program