KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4031. Let n be an integer greater than 1. Prove that the equation


\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\ldots +\frac{x}{1!}+1=0

has no rational solution.

(5 points)

Deadline expired on 15 November 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az egyenlet ekvivalens az a_n
x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1x+a_0 egyenlettel, ahol an kivételével mindegyik ak=n!/k! együttható n-nel osztható egész szám (a 0!-t, mint üres szorzatot, 1-nek értelmezve). Mivel a fõegyüttható 1, ha x racionális megoldása az egyenletnek, akkor szükségképpen egész szám. Ha az x egész szám megoldás, akkor szükségképpen xn osztható n-nel. Legyen p az n egyik prímtényezõje, ez tehát x kanonikus alakjában \alpha\ge1 kitevõvel szerepel, az a0=n! száméban pedig valamilyen \beta kitevõvel. Ha k\ge1, akkor a k! szám alakjában p kitevõje,

\gamma_k=\Bigl[\frac{k}{p}\Bigr]+\Bigl[\frac{k}{p^2}\Bigr]+\Bigl[
\frac{k}{p^3}\Bigr]+\ldots,

kisebb mint k, hiszen

\gamma_k=\sum_{i=1}^\infty\Bigl[\frac{k}{p^i}\Bigr]<
\sum_{i=1}^\infty \frac{k}{p^i}\le \sum_{i=1}^\infty
\frac{k}{2^i}=k.

Ezért k\ge1 esetén p kitevõje az akxk számban

(\beta-\gammak)+k\alpha\ge\beta-\gammak+k>\beta.

Az a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+ a_1x_1=-a_0 egyenlõség baloldalán álló összeg tehát p-nek nagyobb hatványával osztható, mint a jobboldalon álló szám. Ez az ellentmondás mutatja, hogy az egyenletnek mégsem lehet racionális megoldása.


Statistics on problem B. 4031.
29 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Éles András, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kovács 729 Gergely, Márkus Bence, Szõke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán.
4 points:Cséke Balázs, Somogyi Ákos.
3 points:2 students.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2007

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErőforrĂĄs TĂĄmogatĂĄskezelő   Emberi ErőforrĂĄsok MinisztĂŠriuma  
    OktatĂĄskutatĂł ĂŠs Fejlesztő IntĂŠzet   Nemzeti TehetsĂŠg Program     Nemzeti
KulturĂĄlis Alap   ELTE   Morgan Stanley