Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4033. (November 2007)

B. 4033. All the participants in a dance course are married couples. Someone noticed that the difference between the heights of the two members of each couple is at most 10 cm. The dance instructor asks both the men and the women to stand in a line in increasing order of heights. Dancing couples are made by this rule: The tallest woman dances with the tallest man, and so on. Prove that the differences between the members of every dancing couple are also at most 10 cm.

(4 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyenek a táncospárok (Ni,Fi), ahol 1\lei\le\ell, az Ni nő magassága cm-ekben mérve ni, az Fi férfié fi, továbbá n_1\le n_2\le \ldots\le n_\ell és f_1\le f_2\le \ldots\le f_\ell.

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, ekkor van olyan 1\lei\le\ell, amelyre ni<fi-10 vagy fi<ni-10. Szimmetria okok miatt elég az első esettel foglalkoznunk. Ekkor minden 1\lej\lei\lek\le\ell esetén nj\leni<fi-10\lefk-10, vagyis Fk nem lehet az Nj házastársa. Tehát az N_1,\ldots, N_i nők házastársa az F_1,\ldots,F_{i-1} férfiak között keresendő, ami a skatulya-elv miatt nem lehetséges; indirekt feltevésünk ellentmondásra vezetett.


Statistics:

149 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:4 students.
2 points:11 students.
1 point:9 students.
0 point:27 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007