KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4035. (November 2007)

B. 4035. Solve the following equation: 2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1=0.

(5 pont)

Deadline expired on 17 December 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy x=2\pi/11 megoldása az egyenletnek. Vegyünk fel a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben egy szabályos 11-szöget, melynek középpontja az origó, csúcsai pedig pozitív körüljárás szerint A_0,A_1,\ldots,A_{10}, ahol A0 az (1;0) pont. Ekkor Ak első koordinátája éppen \cos\frac{2k\pi}{11} lesz, vagyis az Ai pontok első koordinátáinak összege éppen

2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1.

Az O körüli 2\pi/11 szögű elforgatás az \ora{OA_i} vektorok mindegyikét a rákövetkezőbe viszi, ezért a vektorok összege 0, amiért is az Ai pontok első koordinátáinak összege is 0. Ugyanez a gondolatmenet azt is kiadja, hogy minden 1\lek\le10 esetén x=2k\pi/11 megoldása lesz az egyenletnek. Természetesen minden megoldáshoz 2\pi egész számú többszörösét hozzáadva újabb megoldásokat kapunk, vagyis minden olyan k egész számra, amely 11-gyel nem osztható, x=2k\pi/11 megoldása lesz az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Az addíciós képletek ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy cos 2x=2cos2x-1, cos 3x=4cos3x-3cos x, cos 4x=8cos4x-8cos2x+1 és cos 5x=16cos5x-20cos3x+5cos x. Ezért x pontosan akkor megoldása az egyenletnek, ha a=cos x gyöke a

32a5+16a4-32a3-12a2+4a+1=0

egyenletnek. A fent elmondottak miatt az

a_1=\cos\frac{2\pi}{11},\ a_2=\cos\frac{4\pi}{11}.\ a_3=\cos\frac{6\pi}{11},
\ a_4=\cos\frac{8\pi}{11},\  a_5=\cos\frac{10\pi}{11}

számok az egyenletet kielégítik. Mivel ez öt különböző valós szám, a szóban forgó ötödfokú egyenletnek más megoldása már nem lehet. Mivel a fent felsorolt szögek éppen azok, amelyeknek koszinusza valamelyik ai-vel egyenlő, az eredeti egyenletnek valóban megadtuk már az összes megoldását.


Statistics:

69 students sent a solution.
5 points:Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bali Gábor, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Csizmadija Laura, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Konkoly 001 Csaba, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márki Róbert, Márkus Bence, Müller Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Petróczy Dóra Gréta, Prok Tamás, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Vadász Bálint, Varga 171 László, Wagner Zsolt, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.
4 points:14 students.
3 points:2 students.
1 point:5 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:6 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley