Problem B. 4035. (November 2007)

B. 4035. Solve the following equation: 2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1=0.

(5 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először megmutatjuk, hogy x=2 $\pi$ /11 megoldása az egyenletnek. Vegyünk fel a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben egy szabályos 11-szöget, melynek középpontja az origó, csúcsai pedig pozitív körüljárás szerint $A_0,A_1,\ldots,A_{10}$ , ahol A₀ az (1;0) pont. Ekkor A_k első koordinátája éppen $\cos\frac{2k\pi}{11}$ lesz, vagyis az A_i pontok első koordinátáinak összege éppen

2cos 5x+2cos 4x+2cos 3x+2cos 2x+2cos x+1.

Az O körüli 2 $\pi$ /11 szögű elforgatás az $\ora{OA_i}$ vektorok mindegyikét a rákövetkezőbe viszi, ezért a vektorok összege 0, amiért is az A_i pontok első koordinátáinak összege is 0. Ugyanez a gondolatmenet azt is kiadja, hogy minden 1 $\le$ k $\le$ 10 esetén x=2k $\pi$ /11 megoldása lesz az egyenletnek. Természetesen minden megoldáshoz 2 $\pi$ egész számú többszörösét hozzáadva újabb megoldásokat kapunk, vagyis minden olyan k egész számra, amely 11-gyel nem osztható, x=2k $\pi$ /11 megoldása lesz az egyenletnek. Megmutatjuk, hogy más megoldás nincs.

Az addíciós képletek ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy cos 2x=2cos²x-1, cos 3x=4cos³x-3cos x, cos 4x=8cos⁴x-8cos²x+1 és cos 5x=16cos⁵x-20cos³x+5cos x. Ezért x pontosan akkor megoldása az egyenletnek, ha a=cos x gyöke a

32a⁵+16a⁴-32a³-12a²+4a+1=0

egyenletnek. A fent elmondottak miatt az

$a_1=\cos\frac{2\pi}{11},\ a_2=\cos\frac{4\pi}{11}.\ a_3=\cos\frac{6\pi}{11}, \ a_4=\cos\frac{8\pi}{11},\ a_5=\cos\frac{10\pi}{11}$

számok az egyenletet kielégítik. Mivel ez öt különböző valós szám, a szóban forgó ötödfokú egyenletnek más megoldása már nem lehet. Mivel a fent felsorolt szögek éppen azok, amelyeknek koszinusza valamelyik a_i-vel egyenlő, az eredeti egyenletnek valóban megadtuk már az összes megoldását.

Statistics:

69 students sent a solution.

5 points: Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bali Gábor, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Csizmadija Laura, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Konkoly 001 Csaba, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márki Róbert, Márkus Bence, Müller Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Petróczy Dóra Gréta, Prok Tamás, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Vadász Bálint, Varga 171 László, Wagner Zsolt, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.

4 points: 14 students.

3 points: 2 students.

1 point: 5 students.

0 point: 3 students.

Unfair, not evaluated: 6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007

69 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bali Gábor, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bohus Kinga, Csizmadija Laura, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Földi Sándor, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Konkoly 001 Csaba, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márki Róbert, Márkus Bence, Müller Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Petróczy Dóra Gréta, Prok Tamás, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Szigetvári Áron, Szőke Nóra, Ta Phuong Linh, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Vadász Bálint, Varga 171 László, Wagner Zsolt, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zsupanek Alexandra.
4 points:	14 students.
3 points:	2 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?