B. 4036. The circles k₁ and k₂ touch each other on the outside at P. One of their common tangents not passing through P is e, which touches k₁ and k₂ at A and B, respectively. The line f is parallel to e, touches k₁ at C and intersects k₂ at D and E. Prove that the common chord of the circumcircles of the triangles ABC and ADE contains P.

(5 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Mivel az AC szakasz a k₁ kör átmérője, Thalesz tétele értelmében az APC szög derékszög. Ha a két kör P-n áthaladó közös érintője az e egyenest P'-ben metszi, akkor P'A=P'P=P'B, vagyis az APB szög is 90^o-os, P tehát illeszkedik a BC szakaszra. Mivel a CAB szög is 90^o-os, ez a szakasz az ABC háromszög köré írt k₃ kör egyik átmérője, amely merőleges AP-re. Ha tehát az A pontot P-re tükrözzük, akkor az így kapott A' pont a k₃ körön helyezkedik el. Erre a pontra BA=BA'. Ha megmutatjuk, hogy az ADE háromszög köré írható k₄ kör középpontja éppen B, akkor ebből következik, hogy A' is a k₄ körön van, vagyis éppen AA' lesz a k₃ és k₄ körök közös húrja. Mivel ez illeszkedik P-re, a feladat állítása ebből már következik.

Mivel BD=BE, elegendő annyit megmutatni, hogy BA=BD. Legyen a körök középpontja O₁,O₂, sugara r₁,r₂, a DE szakasz felezőpontja pedig F. Az O₁ABO₂ derékszögű trapézból kiindulva, a Pithagorasz tétel alapján AB²+(BO₂-AO₁)²=O₁O₂², vagyis

AB²=(r₁+r₂)²-(r₂-r₁)²=4r₁r₂.

A DFO₂ esetleg elfajuló derékszögű háromszögből r₂²=DF²+(2r₁-r₂)², tehát a DFB derékszögű háromszögre is felírva a Pithagorasz tételt

BD²=DF²+FB²=r₂²-(2r₁-r₂)²+(2r₁)²=4r₁r₂=BA²,

ahonnan valóban BD=BA következik.

Statistics on problem B. 4036. 40 students sent a solution. 5 points: Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Gyurcsik Judit, Horváth 385 Vanda, Hursán Zsófia, Kalina Kende, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Piller Éva, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szabó 313 Gábor, Szabó 895 Dávid, Szalai Zsófia, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zieger Milán. 4 points: Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bohus Kinga, Keresztfalvi Tibor, Lovas Lia Izabella, Marák Károly. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 1 solution.