Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4037. (November 2007)

B. 4037. Let f(n) denote the sum of the digits of the positive integer n in decimal notation. What may f(3a) be if f(a)=100 and f(124a)=700?

(4 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A megoldás azon az észrevételen múlik, hogy f(x+y)\lef(x)+f(y) teljesül bármely x,y pozitív egészekre, ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y azonos helyiértéken álló számjegyeinek összege soha nem nagyobb 9-nél. Ebből rögtön következik, hogy f(2a)\le2f(a) és f(4a)\le4f(a), és az utóbbi esetben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a egyik számjegye sem nagyobb 2-nél. Emiatt

f(124a)\lef(100a)+f(20a)+f(4a)=f(a)+f(2a)+f(4a)\le7f(a),

és egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a mindegyik számjegye 0, 1 vagy 2. Ebben az esetben viszont f(3a)=3f(a) is teljesül, vagyis a feladatban szereplő a számra, ha ilyen egyáltalán létezik, f(3a)=300. A 100 darab 1-es számjegyből álló a szám például megfelel a feltételeknek.


Statistics:

89 students sent a solution.
4 points:66 students.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:12 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007