Problem B. 4037. (November 2007)

B. 4037. Let f(n) denote the sum of the digits of the positive integer n in decimal notation. What may f(3a) be if f(a)=100 and f(124a)=700?

(4 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A megoldás azon az észrevételen múlik, hogy f(x+y)f(x)+f(y) teljesül bármely x,y pozitív egészekre, ahol egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x és y azonos helyiértéken álló számjegyeinek összege soha nem nagyobb 9-nél. Ebből rögtön következik, hogy f(2a)2f(a) és f(4a)4f(a), és az utóbbi esetben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a egyik számjegye sem nagyobb 2-nél. Emiatt

f(124a)f(100a)+f(20a)+f(4a)=f(a)+f(2a)+f(4a)7f(a),

és egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha a mindegyik számjegye 0, 1 vagy 2. Ebben az esetben viszont f(3a)=3f(a) is teljesül, vagyis a feladatban szereplő a számra, ha ilyen egyáltalán létezik, f(3a)=300. A 100 darab 1-es számjegyből álló a szám például megfelel a feltételeknek.

Statistics:

89 students sent a solution.
4 points:	66 students.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
1 point:	12 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007