Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4038. (November 2007)

B. 4038. The reflections of an interior point P of triangle ABC about the midpoints of the sides BC, CA and AB are A', B' and C', respectively. Show that the lines AA', BB', CC' are concurrent.

(3 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. mgoldás: Legyen a BC oldal felezőpontja Fa. A háromszög S súlypontja az AFa súlyvonal Fa-hoz közelebbi harmadolópontja. Mivel AFa egyben az APA' háromszögnek is súlyvonala, az APA' háromszög súlypontja megegyezik S-sel. Az AA' szakasz F felezőpontját P-vel összekötve az APA' háromszög egy másik súlyvonalát kapjuk, melynek S az F-hez közelebbi harmadolópontja. Az F pont tehát a PS félegyenesnek az a pontja, amelyre PF=(3/2)PS. Szimmetria okok miatt ez az F pont egyben a BB' és a CC' szakasznak is felezőpontja. Az AA', BB', CC' egyenesek tehát mind áthaladnak az F ponton.

II. mgoldás: Legyen O egy tetszőleges pont. Jelölje \underline{p} az O pontból a P pontba mutató vektort, \underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{a'}, \underline{b'}, \underline{c'} pedig rendre az O-ból az A, B, C, A', B', C' pontba mutató vektort. Ekkor a BC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_a}=\frac{\underline{b}+\underline{c}}{2}, az AC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_b}=\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2}, és az AB oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_c}=\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2}. Innen:

\underline{a'}=\underline{p}+2(\underline{f_a}-\underline{p})-\underline{p}+2\underline{f_a}=-\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}.

Hasonlóan:

\underline{b'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{c},

\underline{c'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{b}.

AA', BB' és CC' pontosan akkor mennek át egy ponton, ha az \underline{a}, -\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}; \underline{b}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{c}; illetve \underline{c}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{b} vektorpároknak van egy-egy lineáris kombinációja, ami megegyezik.

Mindhárom vektorpárnak az 1/2-1/2 számokkal vett lineáris kombinációja ugyanaz: \frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}-\underline{p}}{2}.

A közös pont tehát az AA', BB' és CC' szakaszok felezőpontja.


Statistics:

131 students sent a solution.
3 points:90 students.
2 points:29 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007