KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4038. The reflections of an interior point P of triangle ABC about the midpoints of the sides BC, CA and AB are A', B' and C', respectively. Show that the lines AA', BB', CC' are concurrent.

(3 points)

Deadline expired on 17 December 2007.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

I. mgoldás: Legyen a BC oldal felezőpontja Fa. A háromszög S súlypontja az AFa súlyvonal Fa-hoz közelebbi harmadolópontja. Mivel AFa egyben az APA' háromszögnek is súlyvonala, az APA' háromszög súlypontja megegyezik S-sel. Az AA' szakasz F felezőpontját P-vel összekötve az APA' háromszög egy másik súlyvonalát kapjuk, melynek S az F-hez közelebbi harmadolópontja. Az F pont tehát a PS félegyenesnek az a pontja, amelyre PF=(3/2)PS. Szimmetria okok miatt ez az F pont egyben a BB' és a CC' szakasznak is felezőpontja. Az AA', BB', CC' egyenesek tehát mind áthaladnak az F ponton.

II. mgoldás: Legyen O egy tetszőleges pont. Jelölje \underline{p} az O pontból a P pontba mutató vektort, \underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{a'}, \underline{b'}, \underline{c'} pedig rendre az O-ból az A, B, C, A', B', C' pontba mutató vektort. Ekkor a BC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_a}=\frac{\underline{b}+\underline{c}}{2}, az AC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_b}=\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2}, és az AB oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_c}=\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2}. Innen:

\underline{a'}=\underline{p}+2(\underline{f_a}-\underline{p})-\underline{p}+2\underline{f_a}=-\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}.

Hasonlóan:

\underline{b'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{c},

\underline{c'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{b}.

AA', BB' és CC' pontosan akkor mennek át egy ponton, ha az \underline{a}, -\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}; \underline{b}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{c}; illetve \underline{c}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{b} vektorpároknak van egy-egy lineáris kombinációja, ami megegyezik.

Mindhárom vektorpárnak az 1/2-1/2 számokkal vett lineáris kombinációja ugyanaz: \frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}-\underline{p}}{2}.

A közös pont tehát az AA', BB' és CC' szakaszok felezőpontja.


Statistics on problem B. 4038.
131 students sent a solution.
3 points:90 students.
2 points:29 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley