KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4038. (November 2007)

B. 4038. The reflections of an interior point P of triangle ABC about the midpoints of the sides BC, CA and AB are A', B' and C', respectively. Show that the lines AA', BB', CC' are concurrent.

(3 pont)

Deadline expired on 17 December 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. mgoldás: Legyen a BC oldal felezőpontja Fa. A háromszög S súlypontja az AFa súlyvonal Fa-hoz közelebbi harmadolópontja. Mivel AFa egyben az APA' háromszögnek is súlyvonala, az APA' háromszög súlypontja megegyezik S-sel. Az AA' szakasz F felezőpontját P-vel összekötve az APA' háromszög egy másik súlyvonalát kapjuk, melynek S az F-hez közelebbi harmadolópontja. Az F pont tehát a PS félegyenesnek az a pontja, amelyre PF=(3/2)PS. Szimmetria okok miatt ez az F pont egyben a BB' és a CC' szakasznak is felezőpontja. Az AA', BB', CC' egyenesek tehát mind áthaladnak az F ponton.

II. mgoldás: Legyen O egy tetszőleges pont. Jelölje \underline{p} az O pontból a P pontba mutató vektort, \underline{a}, \underline{b}, \underline{c}, \underline{a'}, \underline{b'}, \underline{c'} pedig rendre az O-ból az A, B, C, A', B', C' pontba mutató vektort. Ekkor a BC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_a}=\frac{\underline{b}+\underline{c}}{2}, az AC oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_b}=\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2}, és az AB oldal felezőpontjába mutató vektor \underline{f_c}=\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2}. Innen:

\underline{a'}=\underline{p}+2(\underline{f_a}-\underline{p})-\underline{p}+2\underline{f_a}=-\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}.

Hasonlóan:

\underline{b'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{c},

\underline{c'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{b}.

AA', BB' és CC' pontosan akkor mennek át egy ponton, ha az \underline{a}, -\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}; \underline{b}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{c}; illetve \underline{c}, -\underline{p}+\underline{a}+\underline{b} vektorpároknak van egy-egy lineáris kombinációja, ami megegyezik.

Mindhárom vektorpárnak az 1/2-1/2 számokkal vett lineáris kombinációja ugyanaz: \frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}-\underline{p}}{2}.

A közös pont tehát az AA', BB' és CC' szakaszok felezőpontja.


Statistics:

131 students sent a solution.
3 points:90 students.
2 points:29 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:2 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley