A B. 4038. feladat (2007. november)

B. 4038. Az ABC háromszög belsejében felvett P pontnak a BC, CA és AB oldalak felezőpontjára vonatkozó tükörképe rendre A', B' és C'. Mutassuk meg, hogy az AA', BB', CC' egyenesek egy ponton mennek át.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

I. mgoldás: Legyen a BC oldal felezőpontja F_a. A háromszög S súlypontja az AF_a súlyvonal F_a-hoz közelebbi harmadolópontja. Mivel AF_a egyben az APA' háromszögnek is súlyvonala, az APA' háromszög súlypontja megegyezik S-sel. Az AA' szakasz F felezőpontját P-vel összekötve az APA' háromszög egy másik súlyvonalát kapjuk, melynek S az F-hez közelebbi harmadolópontja. Az F pont tehát a PS félegyenesnek az a pontja, amelyre PF=(3/2)PS. Szimmetria okok miatt ez az F pont egyben a BB' és a CC' szakasznak is felezőpontja. Az AA', BB', CC' egyenesek tehát mind áthaladnak az F ponton.

II. mgoldás: Legyen O egy tetszőleges pont. Jelölje $\underline{p}$ az O pontból a P pontba mutató vektort, $\underline{a}$ , $\underline{b}$ , $\underline{c}$ , $\underline{a'}$ , $\underline{b'}$ , $\underline{c'}$ pedig rendre az O-ból az A, B, C, A', B', C' pontba mutató vektort. Ekkor a BC oldal felezőpontjába mutató vektor $\underline{f_a}=\frac{\underline{b}+\underline{c}}{2}$ , az AC oldal felezőpontjába mutató vektor $\underline{f_b}=\frac{\underline{a}+\underline{c}}{2}$ , és az AB oldal felezőpontjába mutató vektor $\underline{f_c}=\frac{\underline{a}+\underline{b}}{2}$ . Innen:

$\underline{a'}=\underline{p}+2(\underline{f_a}-\underline{p})-\underline{p}+2\underline{f_a}=-\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}.$

Hasonlóan:

$\underline{b'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{c},$

$\underline{c'}=-\underline{p}+\underline{a}+\underline{b}.$

AA', BB' és CC' pontosan akkor mennek át egy ponton, ha az $\underline{a}$ , $-\underline{p}+\underline{b}+\underline{c}$ ; $\underline{b}$ , $-\underline{p}+\underline{a}+\underline{c}$ ; illetve $\underline{c}$ , $-\underline{p}+\underline{a}+\underline{b}$ vektorpároknak van egy-egy lineáris kombinációja, ami megegyezik.

Mindhárom vektorpárnak az 1/2-1/2 számokkal vett lineáris kombinációja ugyanaz: $\frac{\underline{a}+\underline{b}+\underline{c}-\underline{p}}{2}$ .

A közös pont tehát az AA', BB' és CC' szakaszok felezőpontja.

Statisztika:

131 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 90 versenyző.

2 pontot kapott: 29 versenyző.

1 pontot kapott: 5 versenyző.

0 pontot kapott: 5 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai

131 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	90 versenyző.
2 pontot kapott:	29 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?