Problem B. 4041. (November 2007)

B. 4041. The lengths of the medians of a triangle are a, b, c. Prove that for all positive numbers $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ it is possible to construct a triangle with sides $\alpha$ a+ $\beta$ b+ $\gamma$ c, $\gamma$ a+ $\alpha$ b+ $\beta$ c, $\beta$ a+ $\gamma$ b+ $\alpha$ c.

(4 pont)

Deadline expired on December 17, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először azt mutatjuk meg, hogy a,b,c hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög. Ha a szokásos módon a háromszög csúcsait A,B,C, az oldalak felezőpontjait F_a,F_b,F_c jelöli, akkor

$\ora{AF_a}+\ora{BF_b}+\ora{CF_c}= \frac{\ora{AB}+\ora{AC}}{2}+\frac{\ora{BA}+\ora{BC}}{2}+ \frac{\ora{CA}+\ora{CB}}{2}=0.$

Mivel az $\ora{AF_a},\ora{BF_b},\ora{CF_c}$ vektorok nem párhuzamosak, hosszuk pedig rendre a,b,c, ez igazolja fenti állításunkat.

Az a,b,c mennyiségekre tehát teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Elegendő megmutatni, hogy a feladatban szereplő három mennyiség is kielégíti azt. Ez három egyenlőtlenséget jelent. Szimmetria okok miatt elegendő az egyiket igazolni. Az

( $\alpha$ a+ $\beta$ b+ $\gamma$ c)+( $\gamma$ a+ $\alpha$ b+ $\beta$ c)> $\beta$ a+ $\gamma$ b+ $\alpha$ c

egyenlőtlenség például ekvivalens az

$\alpha$ (a+b-c)+ $\beta$ (b+c-a)+ $\gamma$ (c+a-b)>0

egyenlőtlenséggel. Fenti megállapításunk és a feladat feltételei szerint $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ és az a+b-c,b+c-a,c+a-b mennyiségek is pozitívak, amiből az egyenlőtlenség azonnal leolvasható.

Statistics:

91 students sent a solution.

4 points: 76 students.

3 points: 9 students.

2 points: 1 student.

1 point: 1 student.

0 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2007

91 students sent a solution.
4 points:	76 students.
3 points:	9 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	4 students.

Already signed up?
New to KöMaL?