KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4041. (November 2007)

B. 4041. The lengths of the medians of a triangle are a, b, c. Prove that for all positive numbers \alpha, \beta, \gamma it is possible to construct a triangle with sides \alphaa+\betab+\gammac, \gammaa+\alphab+\betac, \betaa+\gammab+\alphac.

(4 pont)

Deadline expired on 17 December 2007.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Először azt mutatjuk meg, hogy a,b,c hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög. Ha a szokásos módon a háromszög csúcsait A,B,C, az oldalak felezőpontjait Fa,Fb,Fc jelöli, akkor

\ora{AF_a}+\ora{BF_b}+\ora{CF_c}=
\frac{\ora{AB}+\ora{AC}}{2}+\frac{\ora{BA}+\ora{BC}}{2}+
\frac{\ora{CA}+\ora{CB}}{2}=0.

Mivel az \ora{AF_a},\ora{BF_b},\ora{CF_c} vektorok nem párhuzamosak, hosszuk pedig rendre a,b,c, ez igazolja fenti állításunkat.

Az a,b,c mennyiségekre tehát teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Elegendő megmutatni, hogy a feladatban szereplő három mennyiség is kielégíti azt. Ez három egyenlőtlenséget jelent. Szimmetria okok miatt elegendő az egyiket igazolni. Az

(\alphaa+\betab+\gammac)+(\gammaa+\alphab+\betac)>\betaa+\gammab+\alphac

egyenlőtlenség például ekvivalens az

\alpha(a+b-c)+\beta(b+c-a)+\gamma(c+a-b)>0

egyenlőtlenséggel. Fenti megállapításunk és a feladat feltételei szerint \alpha,\beta,\gamma és az a+b-c,b+c-a,c+a-b mennyiségek is pozitívak, amiből az egyenlőtlenség azonnal leolvasható.


Statistics:

91 students sent a solution.
4 points:76 students.
3 points:9 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley