A B. 4041. feladat (2007. november)

B. 4041. Egy háromszög súlyvonalainak hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ számra

$\alpha$ a+ $\beta$ b+ $\gamma$ c, $\gamma$ a+ $\alpha$ b+ $\beta$ c, $\beta$ a+ $\gamma$ b+ $\alpha$ c

hosszúságú oldalakkal háromszög szerkeszthető.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Először azt mutatjuk meg, hogy a,b,c hosszúságú oldalakkal szerkeszthető háromszög. Ha a szokásos módon a háromszög csúcsait A,B,C, az oldalak felezőpontjait F_a,F_b,F_c jelöli, akkor

$\ora{AF_a}+\ora{BF_b}+\ora{CF_c}= \frac{\ora{AB}+\ora{AC}}{2}+\frac{\ora{BA}+\ora{BC}}{2}+ \frac{\ora{CA}+\ora{CB}}{2}=0.$

Mivel az $\ora{AF_a},\ora{BF_b},\ora{CF_c}$ vektorok nem párhuzamosak, hosszuk pedig rendre a,b,c, ez igazolja fenti állításunkat.

Az a,b,c mennyiségekre tehát teljesül a háromszög-egyenlőtlenség. Elegendő megmutatni, hogy a feladatban szereplő három mennyiség is kielégíti azt. Ez három egyenlőtlenséget jelent. Szimmetria okok miatt elegendő az egyiket igazolni. Az

( $\alpha$ a+ $\beta$ b+ $\gamma$ c)+( $\gamma$ a+ $\alpha$ b+ $\beta$ c)> $\beta$ a+ $\gamma$ b+ $\alpha$ c

egyenlőtlenség például ekvivalens az

$\alpha$ (a+b-c)+ $\beta$ (b+c-a)+ $\gamma$ (c+a-b)>0

egyenlőtlenséggel. Fenti megállapításunk és a feladat feltételei szerint $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ és az a+b-c,b+c-a,c+a-b mennyiségek is pozitívak, amiből az egyenlőtlenség azonnal leolvasható.

Statisztika:

91 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 76 versenyző.

3 pontot kapott: 9 versenyző.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 4 versenyző.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	76 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?