Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4043. (December 2007)

B. 4043. For what pairwise different positive integers is the value of


\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}

an integer?

(4 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen x'=x+1. A kifejezéshez az S=\frac{1}{a'}+\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'}+\frac{1}{d'} mennyiséget hozzádva egész számot (négyet) kapunk. Szükséges és elégséges feltétel tehát, hogy az 1-nél nagyobb páronként különböző a', b', c', d' egész számokra S értéke is egész legyen. Mivel S\le \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}<2, ez csak úgy lehet, ha S=1. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a'<b'<c'<d'. Ha a'\ge3, akkor S\le \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}<1, ezért szükségképpen a'=2, S'=\frac{1}{b'}+\frac{1}{c'}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{2}.

Ha b'\ge6 lenne, akkor S\le \frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}<1 lenne, ezért 3\leb'\le5. A b'=5 esetet könnyen kizárhatjuk, ekkor ugyanis c'\ge6. Ha c'=6 lenne, akkor \frac{1}{d'}=\frac{1}{2}
-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{2}{15} lenne, ami nem lehetséges. Ha pedig c'\ge7, akkor d'\ge8, és így S'<1/2.

A b'=4 esetben \frac{1}{c'}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{4}, vagyis c'd'=4c'+4d', (c'-4)(d'-4)=16. Mivel 1\lec'-4<d'-4 egész számok, ez csak úgy lehetséges, ha c'-4=1 és d'-4=16, vagy c'-4=2, d'-4=8. Az első esetben c'=5 és d'=20, a másodikban c'=6 és d'=12. A b'=3 esetben hasonló gondolatmenettel \frac{1}{c'}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{6} alapján (c'-6)(d'-6)=36 adódik, ahol -2\lec'-6<d'-6. Innen a (c'-6,d'-6) számpár lehetséges értékeire (1,36), (2,18), (3,12) és (4,9) adódik, vagyis ebben az esetben a (c',d') számpár (7,42), (8,24), (9,18), illetve (10,15) lehet.

A feltételt tehát 6 különböző a'<b'<c'<d' számnégyes elégíti ki. Ennek megfelelően a feladatnak 6.4!=144 különböző megoldása van, melyeket az (1,3,4,19), az (1,3,5,11), az (1,2,6,41), az (1,2,7,23), az (1,2,8,17), illetve az (1,2,9,14) számnégyesek összes lehetséges permutációjával kaphatunk meg.


Statistics:

118 students sent a solution.
4 points:Ágoston Tamás, Angyal Levente, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Czeller Ildikó, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 232 Dóra, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Klincsik Gergely, Konkoly 001 Csaba, Lamm Éva, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Matyuska Péter, Mészáros András, Mihálykó Ágnes, Muszka Balázs, Nagy 648 Donát, Nguyen Milán, Pap Máté, Paripás Viktor, Pasztuhov Anna, Peregi Tamás, Perjési Gábor, Pop Bence, Prok Tamás, Salát Zsófia, Somogyi Ákos, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 222 Barnabás, Vuchetich Bálint, Zelena Réka, Zsupanek Alexandra.
3 points:39 students.
2 points:17 students.
1 point:11 students.
0 point:5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007