B. 4044. Prove that the average distance of a point in the interior of a regular polygon from the side of the polygon equals the radius of the inscribed circle.

(3 points)

Deadline expired.

Sorry, the solution is published in Hungarian only.

Megoldás: Legyen a sokszög oldala a, a beírt kör sugara r, a pontnak az oldalegyenesektől mért távolságai pedig . Ha az adott pontot a csúcsokkal összekötjük, akkor n darab kis háromszög keletkezik. Mindegyiknek az egyik oldala a, az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok pedig rendre . A háromszögek területének összege megegyezik a sokszög területével, vagyis a terület kétszerese alakba írható. Ha a beírt kör középpontját kötjük össze a csúcsokkal, akkor ugyanezzel a gondolattal a 2T=nar összefüggésre jutunk, ahonnan

adódik, ezt an-nel leosztva kapjuk a bizonyítandó állítást.

Statistics on problem B. 4044. 156 students sent a solution. 3 points: 122 students. 2 points: 8 students. 1 point: 13 students. 0 point: 13 students.