KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

tehetseg.hu

Ericsson

Google

Emberi Erőforrások Minisztériuma

Emberi Erőforrás Támogatáskezelő

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

ELTE

Competitions Portal

B. 4044. Prove that the average distance of a point in the interior of a regular polygon from the side of the polygon equals the radius of the inscribed circle.

(3 points)

Deadline expired.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Legyen a sokszög oldala a, a beírt kör sugara r, a pontnak az oldalegyenesektől mért távolságai pedig h_1,h_2,\ldots,h_n. Ha az adott pontot a csúcsokkal összekötjük, akkor n darab kis háromszög keletkezik. Mindegyiknek az egyik oldala a, az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok pedig rendre h_1,h_2,\ldots,h_n. A háromszögek területének összege megegyezik a sokszög területével, vagyis a terület kétszerese 2T=ah_1+ah_2+\ldots+ah_n alakba írható. Ha a beírt kör középpontját kötjük össze a csúcsokkal, akkor ugyanezzel a gondolattal a 2T=nar összefüggésre jutunk, ahonnan

ah_1+ah_2+\ldots+ah_n=nar

adódik, ezt an-nel leosztva kapjuk a bizonyítandó állítást.


Statistics on problem B. 4044.
156 students sent a solution.
3 points:122 students.
2 points:8 students.
1 point:13 students.
0 point:13 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

  • Our web pages are supported by: Ericsson   Google   SzerencsejátĂ©k Zrt.   Emberi ErĹ‘források MinisztĂ©riuma   Emberi ErĹ‘forrás TámogatáskezelĹ‘   OktatáskutatĂł Ă©s FejlesztĹ‘ IntĂ©zet   ELTE   Nemzeti TehetsĂ©g Program