KöMaL - Mathematical and Physical Journal for Secondary Schools
Hungarian version Information Contest Journal Articles News
Conditions
Entry form to the contest
Problems and solutions
Results of the competition
Problems of the previous years

 

 

Order KöMaL!

Competitions Portal

B. 4045. An equilateral triangle of unit side is moved between the arms of a 120o angle XOY so that vertex A lies on the arm OX, vertex B lies on the arm OY, and the line AB separates the points C and O. Determine the locus of vertex C.

(4 points)

Deadline expired on 15 January 2008.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás: Az OX szögszáron jelölje D és E azt a pontot, amely O-tól 1, illetve 1/\sqrt{3} távolságra van. Ha A=D, akkor C az XOY szög felezõjének az az M pontja, amely O-tól 1 távolságra van, ha pedig A=E, akkor C a szögfelezõnek azon N pontja lesz, amely O-tól 2/\sqrt{3} távolságra van. Belátjuk, hogy a keresett mértani hely éppen az MN szakasz.

Mivel az AOBC négyszög húrnégyszög, az AOC szög is 60o-os, tehát C a szögfelezõre esik. Az OA=x, OB=y jelöléssel az AOBC húrnégyszögre a Ptolemaiosz tételt felírva kapjuk, hogy OC=x+y. Az AOB háromszögre a koszinusz tételt felírva x2+y2+xy=1, ahonnan OC2=(x+y)2=1+xy. Mivel a fenti összefüggés miatt (x-y)2=1-3xy is igaz,

1\le 1+xy=OC^2=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(x-y)^2\le \frac{4}{3},

ahonnan 1\le OC\le 2/\sqrt{3}, vagyis C valóban az MN szakaszon helyezkedik el. Ha a háromszöget folytonosan úgy mozgatjuk, hogy az A csúcs D-bõl E-be kerüljön, akkor a C csúcs is folytonosan vándorol át az M pontból N-be, vagyis az egész MN szakaszt befutja.


Statistics on problem B. 4045.
86 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Kristóf Panna, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márkus Bence, Mészáros András, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szõke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton.
3 points:Aczél Gergely, Anda Roland, Bohus Kinga, Gõgös Balázs, Grósz Dániel, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Mihálykó Ágnes, Nagy-Baló András, Palincza Richárd, Pasztuhov Anna, Perjési Gábor, Piller Éva, Prok Tamás, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tóth Bence Barnabás.
2 points:16 students.
1 point:17 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007

  • Our web pages are supported by:   Ericsson   Google   Cognex   Emberi ErőforrĂĄs TĂĄmogatĂĄskezelő   Emberi ErőforrĂĄsok MinisztĂŠriuma  
    OktatĂĄskutatĂł ĂŠs Fejlesztő IntĂŠzet   Nemzeti TehetsĂŠg Program     Nemzeti
KulturĂĄlis Alap   ELTE   Morgan Stanley