KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4045. (December 2007)

B. 4045. An equilateral triangle of unit side is moved between the arms of a 120o angle XOY so that vertex A lies on the arm OX, vertex B lies on the arm OY, and the line AB separates the points C and O. Determine the locus of vertex C.

(4 pont)

Deadline expired on 15 January 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az OX szögszáron jelölje D és E azt a pontot, amely O-tól 1, illetve 1/\sqrt{3} távolságra van. Ha A=D, akkor C az XOY szög felezőjének az az M pontja, amely O-tól 1 távolságra van, ha pedig A=E, akkor C a szögfelezőnek azon N pontja lesz, amely O-tól 2/\sqrt{3} távolságra van. Belátjuk, hogy a keresett mértani hely éppen az MN szakasz.

Mivel az AOBC négyszög húrnégyszög, az AOC szög is 60o-os, tehát C a szögfelezőre esik. Az OA=x, OB=y jelöléssel az AOBC húrnégyszögre a Ptolemaiosz tételt felírva kapjuk, hogy OC=x+y. Az AOB háromszögre a koszinusz tételt felírva x2+y2+xy=1, ahonnan OC2=(x+y)2=1+xy. Mivel a fenti összefüggés miatt (x-y)2=1-3xy is igaz,

1\le 1+xy=OC^2=\frac{4}{3}-\frac{1}{3}(x-y)^2\le \frac{4}{3},

ahonnan 1\le OC\le 2/\sqrt{3}, vagyis C valóban az MN szakaszon helyezkedik el. Ha a háromszöget folytonosan úgy mozgatjuk, hogy az A csúcs D-ből E-be kerüljön, akkor a C csúcs is folytonosan vándorol át az M pontból N-be, vagyis az egész MN szakaszt befutja.


Statistics:

>
86 students sent a solution.
4 points:Aujeszky Tamás, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Huszár Kristóf, Kiss 243 Réka, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Kristóf Panna, Lovas Lia Izabella, Marák Károly, Márkus Bence, Mészáros András, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton.
3 points:Aczél Gergely, Anda Roland, Bohus Kinga, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Horváth 385 Vanda, Keresztfalvi Tibor, Mihálykó Ágnes, Nagy-Baló András, Palincza Richárd, Pasztuhov Anna, Perjési Gábor, Piller Éva, Prok Tamás, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tóth Bence Barnabás.
2 points:16 students.
1 point:17 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley