Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4046. (December 2007)

B. 4046. Solve the following simultaneous equations:

a\sqrt a+b\sqrt b =183,

a\sqrt b+b\sqrt a  =182.

(3 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Az x=\sqrt{a}, y=\sqrt{b} helyettesítéssel az egyenletek x3+y3=183 és x2y+xy2=182 lesznek. Az első egyenlethez a második háromszorosát hozzádva

(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3=183+3.182=729,

ahonnan x+y=9 és

xy=\frac{x^2y+xy^2}{x+y}=\frac{182}{9},

vagyis x és y éppen a z^2-9z+\frac{182}{9}=0 másodfokú egyenlet két gyöke kell legyen. Innen

\{x,y\}=\Bigl\{ \frac{13}{3},\frac{14}{3}\Bigr\},\quad
\{a,b\}=\Bigl\{ \frac{169}{9},\frac{196}{9}\Bigr\}

lehet csak, és mindkét így kapott számpár valóban megoldása az egyenletrendszernek.


Statistics:

187 students sent a solution.
3 points:166 students.
2 points:9 students.
1 point:3 students.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:3 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007