Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4048. (December 2007)

B. 4048. The vertices of a regular polygon of 2n sides are A_1, A_2, \ldots, A_{2n} in this order. Prove that


\frac{1}{A_1A_2^2} + \frac{1}{A_1A_n^2} = \frac{4}{A_1A_3^2}.

(3 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Legyen x=\frac{\pi}{2n}. A sokszög köré írható kör sugarát tekintve egységnek, A1A2=2sin x, A1A3=2sin 2x és A1An=2sin (n-1)x=2cos x, hiszen x+(n-1)x=\pi/2. Ezért a bizonyítandó állítás ekvivalens a

sin22x(sin2x+cos2x)=4sin2xcos2x

egyenlőséggel, ami nyilván teljesül, hiszen sin2x+cos2x=1 és sin 2x=2sin xcos x.


Statistics:

88 students sent a solution.
3 points:80 students.
2 points:4 students.
1 point:3 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007